Kolaps Mostowskiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Kolaps Mostowskiego (kolaps przechodni)zbiór przechodni, który wraz z relacją należenia jest izomorficzny z daną ufundowaną relacją ekstensjonalną. Termin kolaps Mostowskiego jest też używany na określenie samego izomorfizmu z wyjściowego zbioru z relacją na zbiór przechodni.

Izomorfizm ten był użyty przez Kurta Gödla w 1937 w niebezpośredniej formie[1]. Samodzielne twierdzenie o istnieniu kolapsów przechodnich było sformułowane i udowodnione przez Andrzeja Stanisława Mostowskiego w 1949[2].

Twierdzenie o kolapsie Mostowskiego jest nazywane także twierdzeniem o ściąganiu[3].

Definicje[edytuj | edytuj kod]

  • Relacja dobrze ufundowana (lub po prostu relacja ufundowana) to relacja dla której nie istnieje nieskończony -zstępujący ciąg czyli taki nieskończony ciąg elementów zbioru w którym każdy element jest w relacji z następującym bezpośrednio przed nim:
  • Powiemy, że relacja dwuczłonowa na zbiorze spełnia warunek ekstensjonalności (jest ekstensjonalna) jeśli dla wszystkich zachodzi implikacja:
jeśli to
  • Zbiór jest przechodni (tranzytywny), jeśli każdy jego element jest jednocześnie jego podzbiorem, czyli gdy spełniony jest warunek

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że jest dwuczłonową relacją ufundowaną na zbiorze Przypuśćmy również, że relacja ta spełnia warunek ektensjonalności. Wówczas istnieje dokładnie jeden zbiór przechodni oraz dokładnie jedna bijekcja takie, że dla wszystkich mamy:

Zbiór nazywa się kolapsem Mostowskiego relacji , czasem ten sam zwrot jest używane w odniesieniu do odwzorowania

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Kolaps Mostowskiego zbioru przechodniego jest tym samym zbiorem. Zatem w szczególności, kolaps Mostowskiego liczby porządkowej jest tą samą liczbą.
  • Relacja naturalnego porządku na zbiorze parzystych liczb naturalnych jest zarówno ufundowana i ekstensjonalna. Kolaps relacji to zbiór liczb naturalnych
  • W teorii forsingu często używa się kolapsów Mostowskiego w następującej sytuacji. Mamy daną pewną (dużą) regularną liczbą kardynalną i rozważamy rodzinę wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż Przypuśćmy, że jest przeliczalnym elementarnym podmodelem (Istnienie takich podmodeli wynika z dolnego twierdzenia Löwenheima-Skolema). Wówczas istnieje (jedyny) przeliczalny tranzytywny zbiór taki, że model jest izomorficzny z

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Kennedy 2015 ↓.
  2. Andrzej Mostowski: An undecidable arithmetical statement, „Fundamenta Mathematicae36 (1949), s. 143–164.
  3. Zobacz np.: Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 14.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]