Kolejność wykonywania działań

Kolejność wykonywania działań (w terminologii uniwersyteckiej reguły opuszczania nawiasów) – konwencja skracająca zapis matematyczny.

Obliczenia wartości wyrażenia algebraicznego, w którym występują nawiasy, zaczynamy od działań w nawiasach najbardziej wewnętrznych. Uwaga: w zapisie potęg, pierwiastków i ułamków (z kreską poziomą) mogą tkwić ukryte nawiasy, a mianowicie:

$a^w=a^{(w)} \,$,

$\sqrt{w}=\sqrt{(w)}$,

$\frac{u}{w}=\frac{(u)}{(w)}$;

gdzie $u\;$, $w\;$ są dowolnymi wyrażeniami.

Przyjmuje się też, że potęgowanie ma pierwszeństwo przed kreską ułamkową i znakiem minus:

$-u^w = -(u^w)\;$

$\frac {u^w} z = \frac {(u^w)} z \;$

Minus, oznaczający liczbę przeciwną, tworzy nawias ukryty (ma pierwszeństwo) przed mnożeniem, dzieleniem, dodawaniem i odejmowaniem.

$-2+3 = (-2) + 3 \;$

Dodawanie i odejmowanie traktujemy równorzędnie i wykonujemy od lewej do prawej:

$1+2-3+4=((1+2)-3)+4\;$

Potęgowania wykonuje się od prawej do lewej, np.

$4^{3^2} = 4^{(3^2)} = 4^9 = 262144$

Jest to związane również z ekonomią zapisu – gdyby piętrowe potęgowanie wykonywać od lewej do prawej, zapis taki stałby się równoważny iloczynowi w wykładniku:

$\left(a^b\right)^c = a^{bc}, \quad \left(4^3\right)^2 = 64^2 = 4096 = 4^6 = 4^{3\cdot 2}.$

Dla dzielenia zapisywanego kreską ukośną / i mnożenia kolejność nie jest dokładnie ustalona. PWN zaleca autorom podręczników uniwersyteckich unikanie sytuacji w których mogłoby to doprowadzić do niejednoznaczności, np. $1/x \sin x\;$ można interpretować jako $\tfrac{1}{x\sin x}$ lub $\tfrac{1}{x}\sin x.$

Gdy nie ma nawiasów, to najpierw wykonujemy potęgowanie i pierwiastkowanie; potem znak "minus" oznaczający przeciwieństwo, następnie mnożenie i dzielenie (napisane przez dwukropek lub kreskę pochyłą); a na końcu dodawanie, odejmowanie.

Gdy powyższe reguły nie wyjaśniają porządku wykonywania (np. występuje kilkukrotne dzielenie: 1/2/3), to poprawny wynik daje wykonywanie mnożeń, dzieleń, dodawań i odejmowań od lewej strony do prawej (w przykładzie powyżej poprawnym wynikiem jest 1/6), zaś potęgowań od prawej do lewej.

Można określić następujące reguły kolejności wykonywania działań:

Poziomy działań

1. dodawanie ("+") i odejmowanie ("-"),
2. mnożenie ("x" lub "*" lub "•" lub z pominięciem symbolu, np. ab = a*b) i dzielenie (":" lub "/"),
3. potęgowanie ("^") i pierwiastkowanie.

Umowy syntaktyczne

1. W pierwszej kolejności pozbywamy się nawiasów jawnych i ukrytych, tj. rozpoczynając od nawiasów najbardziej wewnętrznych wykonujemy operacje wewnątrz nich zgodnie z poziomami i umowami syntaktycznymi,
2. Operacje wyższego poziomu mają pierwszeństwo przed operacjami niższego poziomu (tzn. działania z poziomu 2 wykonuje się przed operacjami z poziomu 1) – np. 10 + 3 x 8 = 10 + (3 x 8) = 10 + 24 = 34,
3. Jeżeli w jakimś wyrażeniu sąsiadujące działania należą do tego samego poziomu, to wykonuje się je po kolei:
   1. od lewej do prawej w przypadku poziomu 1 i 2 – np. 6:2•3 = (6:2)•3 = 3•3 = 9,
   2. od prawej do lewej w przypadku poziomu 3 – np. 4²³ = 4⁸ = 65536.

Dla przypadku funkcji (np. logarytm, sinus) nie ustalono podobnie ścisłych i prostych reguł kolejności wykonywania. Dla uniknięcia nieporozumień zalecane jest używanie nawiasów. Istnieją jednak pewne tradycje, na przykład w wyrażeniu $\sin 2x$ najpierw wykonuje się mnożenie, a potem wyznacza sinus; natomiast w wyrażeniu $\sin x \sin y$ najpierw wykonuje się wyznaczenie obydwu sinusów, a następnie mnożenie.

Zobacz też

• operator (programowanie)

Przypisy

Bibliografia

• Zbigniew Semadeni: O kolejności wykonywania działań równorzędnych. W: Nauczanie matematyki [on-line]. 6/2007. [dostęp 25 czerwca 2008].