Kombinacja afiniczna

Kombinacja afiniczna – w matematyce pojęcie będące szczególnym przypadkiem kombinacji liniowej w przestrzeniach liniowych mające przede wszystkim zastosowania w przestrzeniach afinicznych, a więc i euklidesowych; z tego względu istotne w geometrii euklidesowej.

Definicja

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K$. Kombinacja afiniczna wektorów $\mathbf x_1, \dots, \mathbf x_n \in V$ o współczynnikach $a_1, \dots, a_n \in K$ to wektor

$\sum_{i=1}^n~a_i \mathbf x_i = a_1\mathbf x_1 + \cdots + a_n \mathbf x_n$,

nazywany kombinacją liniową wektorów $\mathbf x_1, \dots, \mathbf x_n \in V$, którego suma współczynników wynosi $1$, czyli

$\sum_{i=1}^n~a_i = 1$.

Uwagi

W szczególności przestrzeń liniowa $V$ może być stowarzyszona z dowolną przestrzenią afiniczną $A$ (w tym także z samą przestrzenią $V$ jako przestrzenią afiniczną stowarzyszoną samą ze sobą). Nomenklatura stosowana wraz z tym pojęciem nie odbiega od opisanej w artykule opisującym kombinacje liniowe.

Kombinacja afiniczna punktów stałych przekształcenia afinicznego również jest punktem stałym, tak więc punkty stałe stanowią podprzestrzeń afiniczną (w przestrzeni trójwymiarowej: prostą lub płaszczyznę, a w przypadkach trywialnych punkt lub całą przestrzeń).

Przykłady

Płaszczyzna $\mathbb R^2$

Wektor $\mathbf x = [1, 2]$ jest kombinacją afiniczną

$\mathbf x = a_1\mathbf x_1 + a_2\mathbf x_2$

wektorów $\mathbf x_1 = [0, 2]$ oraz $\mathbf x_2 = [-1, 2]$ ze współczynnikami $a_1 = 2, a_2 = -1$, gdyż

$[1, 2] = 2[0, 2] + (-1)[-1, 2]$.

Ten sam wektor $\mathbf x$ jest kombinacją afiniczną $\mathbf x_1 = \mathbf x_2 = \mathbf x$ z dowolnymi współczynnikami sumującymi się do jedności, np. powyższymi lub $\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}$.

Przestrzeń $\mathbb R^3$

Wektor $\mathbf x = [1, -3, 2]$ może być przedstawiony jako kombinacja afiniczna (jest to zarazem kombinacja wypukła)

$\mathbf x = a_1\mathbf x_1 + a_2\mathbf x_2 + a_3\mathbf x_3$

wektorów $\mathbf x_1 = [1, 0, 2],\; \mathbf x_2 = [2, 4, 3],\; \mathbf x_3 = [0, -8, 1]$ o współczynnikach $a_1 = \tfrac{1}{2}, a_2 = \tfrac{1}{4}, a_3 = \tfrac{1}{4}$, ponieważ

$[1, -3, 2] = [\tfrac{1}{2} + \tfrac{2}{4} + \tfrac{0}{4}, \tfrac{0}{2} + \tfrac{4}{4} - \tfrac{8}{4}, \tfrac{2}{2} + \tfrac{4}{4} + \tfrac{1}{4}] = \tfrac{1}{2}[1, 0, 2] + \tfrac{1}{4}[2, 4, 3] + \tfrac{1}{4}[0, -8, 1]$.

Zobacz też

• przestrzeń afiniczna
• geometria afiniczna
• powłoka afiniczna
• powłoka wypukła
• kombinacja stożkowa

Bibliografia

• Jean Gallier: Geometric Methods and Applications. Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag, 2001. ISBN 978-0-387-95044-0. (zob. rozdział 2)