Kombinacja afiniczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kombinacja afiniczna – w matematyce pojęcie będące szczególnym przypadkiem kombinacji liniowej w przestrzeniach liniowych mające przede wszystkim zastosowania w przestrzeniach afinicznych, a więc i euklidesowych; z tego względu istotne w geometrii euklidesowej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Kombinacja afiniczna wektorów \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_n \in V o współczynnikach a_1, \dots, a_n \in K to wektor

\sum_{i=1}^n~a_i \mathbf x_i = a_1\mathbf x_1 + \cdots + a_n \mathbf x_n,

nazywany kombinacją liniową wektorów \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_n \in V, którego suma współczynników wynosi 1, czyli

\sum_{i=1}^n~a_i = 1.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

W szczególności przestrzeń liniowa V może być stowarzyszona z dowolną przestrzenią afiniczną A (w tym także z samą przestrzenią V jako przestrzenią afiniczną stowarzyszoną samą ze sobą). Nomenklatura stosowana wraz z tym pojęciem nie odbiega od opisanej w artykule opisującym kombinacje liniowe.

Kombinacja afiniczna punktów stałych przekształcenia afinicznego również jest punktem stałym, tak więc punkty stałe stanowią podprzestrzeń afiniczną (w przestrzeni trójwymiarowej: prostą lub płaszczyznę, a w przypadkach trywialnych punkt lub całą przestrzeń).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Płaszczyzna \mathbb R^2

Wektor \mathbf x = [1, 2] jest kombinacją afiniczną

\mathbf x = a_1\mathbf x_1 + a_2\mathbf x_2

wektorów \mathbf x_1 = [0, 2] oraz \mathbf x_2 = [-1, 2] ze współczynnikami a_1 = 2, a_2 = -1, gdyż

[1, 2] = 2[0, 2] + (-1)[-1, 2].

Ten sam wektor \mathbf x jest kombinacją afiniczną \mathbf x_1 = \mathbf x_2 = \mathbf x z dowolnymi współczynnikami sumującymi się do jedności, np. powyższymi lub \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}.

Przestrzeń \mathbb R^3

Wektor \mathbf x = [1, -3, 2] może być przedstawiony jako kombinacja afiniczna (jest to zarazem kombinacja wypukła)

\mathbf x = a_1\mathbf x_1 + a_2\mathbf x_2 + a_3\mathbf x_3

wektorów \mathbf x_1 = [1, 0, 2],\; \mathbf x_2 = [2, 4, 3],\; \mathbf x_3 = [0, -8, 1] o współczynnikach a_1 = \tfrac{1}{2}, a_2 = \tfrac{1}{4}, a_3 = \tfrac{1}{4}, ponieważ

[1, -3, 2] = [\tfrac{1}{2} + \tfrac{2}{4} + \tfrac{0}{4}, \tfrac{0}{2} + \tfrac{4}{4} - \tfrac{8}{4}, \tfrac{2}{2} + \tfrac{4}{4} + \tfrac{1}{4}] = \tfrac{1}{2}[1, 0, 2] + \tfrac{1}{4}[2, 4, 3] + \tfrac{1}{4}[0, -8, 1].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]