Kompleks łańcuchowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kompleks łańcuchowy - to pojęcie występujące w matematyce w algebrze homologicznej i topologii algebraicznej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Kompleksem łańcuchowym (A_\bullet, \partial_\bullet) nazywamy ciąg grup abelowych (lub ogólniej, modułów) \cdots, A_2, A_1, A_0, A_{-1}, A_{-2}, \cdots połączony morfizmami \partial_n \colon A_n \to A_{n-1} zwanymi operatorami brzegu, spełniającymi dla każdego n tożsamość \partial_{n-1} \partial_n = 0 (lub, równoważnie, \mathrm{im} \partial_n \subset \mathrm{ker} \partial_{n-1})

Zapisuje się je zwykle jako:

\cdots \to A_{n+1} \xrightarrow{\partial_{n+1}} A_n \xrightarrow{\partial_n} A_{n-1} \xrightarrow{\partial_{n-1}} A_{n-2} \to \cdots  \xrightarrow{\partial_2} A_1 \xrightarrow{\partial_1}
A_0 \xrightarrow{\partial_0} A_{-1} \xrightarrow{\partial_{-1}} A_{-2} \xrightarrow{\partial_{-2}} \cdots

Gdy nie prowadzi to do nieporozumień, często opuszcza się indeksy i \partial_n x\; zapisuje się \partial x\;.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Dla rodziny kompleksów łańcuchowych \{K^{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda} ich sumą prostą \bigoplus\limits_{\lambda \in \Lambda} K^{\lambda} jest kompleks, w którym:
\big(\bigoplus\limits_{\lambda \in \Lambda} K^{\lambda}\big)_n = \bigoplus\limits_{\lambda \in \Lambda} K^{\lambda}_n,
\partial \{c^{\lambda}\} = \{\partial c^{\lambda}\}

Homologie[edytuj | edytuj kod]

Kompleksy łańcuchowe służą zwykle zdefiniowaniu homologii. Dla kompleksu (A_\bullet, \partial_\bullet) i każdego n określamy grupy

Z_n(A) = \mathrm{ker} \partial_n \quad B_n(A) = \mathrm{im} \partial_{n+1}

które nazywamy, odpowiednio, grupami n-wymiarowych cykli i brzegów kompleksu (A_\bullet, \partial_\bullet). Z definicji kompleksu mamy  B_n(A) \subset Z_n(A), dzięki czemu możemy określić n-tą grupę homologii kompleksu (A_\bullet, \partial_\bullet) jako:

H_n(A) = Z_n(A)/B_n(A)\;.

Elementy tej grupy nazywamy n-wymiarowymi klasami homologicznymi. Klasy homologiczne to klasy równoważności cykli, przy czym dwa cykle z_n, z'_n \in Z_n(A) są równoważne (inaczej homologiczne), jeśli ich różnica jest brzegiem z_n - z'_n \in B_n(A). Homologiczną klasę cyklu z\; oznaczamy przez [z]\;.

Przekształcenia łańcuchowe[edytuj | edytuj kod]

Przekształceniem łańcuchowym f_\bullet między kompleksami (A_\bullet, \partial_\bullet) a (B_\bullet, \partial'_\bullet) nazywamy ciąg morfizmów f_n\colon A_n \to B_n komutujących z operatorami brzegu, tj. spełniających dla każdego n zależność

\partial'_n f_n = f_{n-1} \partial_n

Z tej własności wynika, że przekształcenia łańcuchowe przeprowadzają cykle na cykle i brzegi na brzegi, zatem indukują homomorfizmy na poziomie grup homologii: H_n f \colon H_n(A) \to H_n(B).

Złożenie dwóch przekształceń łańcuchowych f_\bullet: A_\bullet \rightarrow B_\bullet i g_\bullet: B_\bullet \rightarrow C_\bullet zdefiniowane jako (gf)_n = g_n f_n\; jest również przekształceniem łańcuchowym (gf)_\bullet: A_\bullet \rightarrow C_\bullet. Dlatego kompleksy i odwzorowania łańcuchowe tworzą kategorię oznaczaną \partial \mathcal{AG}[1].

Homologie definiują funktor

H: \partial\mathcal{AG} \rightarrow \mathcal{AG},

bo H_n (ff') = H_n (f)H_n (f')\; i H_n (id_K) = id_{H_n K}\;.

Gdy nie prowadzi to do nieporozumień, często opuszcza się indeksy i zamiast f_n x\; zapisuje się fx\;, a funktor H_n f\; - jako f_{*}\; (związki funktorialności zapisuje się wtedy w postaci (ff')_{*} = f_{*}f'_{*}\; i id_{*} = id\;).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Stożkiem przekształcenia łańcuchowego f_\bullet: K_\bullet \rightarrow L_\bullet nazywamy kompleks łańcuchowy Cf_\bullet, w którym:
(Cf)_n = L_n \oplus K_{n - 1}
\partial^{Cf}(y, x) = (\partial^{L}y + fx, -\partial^{K}x), gdzie (y, x) \in Cf

Konstrukcji tej odpowiada następująca konstrukcja geometryczna:

w iloczynie wielościanu K\; przez odcinek jednostkowy K \times I, gdzie I = \langle 0; 1 \rangle\; ściągamy do punktu podstawę iloczynu K \times \{0\}, a drugą podstawę K \times \{1\} doklejamy do wielościanu L\; za pomocą przekształcenia f: K \rightarrow L\,, co sprowadza się do podzielenia sumy rozłącznej wielościanów (X \times I) \sqcup Y przez relacje (x,0) \sim (x', 0)\, i (x,1) \sim f(x)\, dla dowolnych x, x' \in X\;.
  • Stożek przekształcenia łańcuchowego identycznościowego id_\bullet: K_\bullet \rightarrow K_\bullet nazywa się stożkiem nad kompleksem K_\bullet\; i oznacza się go CK_\bullet\;.
Zawieszenie okręgu (niebieski). Ściagnięte do punktu podstawy iloczynu są zielone.
  • Jeśli L_\bullet = 0, to kompleks Cf_\bullet\; jest nazywany zawieszeniem i oznaczany przez K^{+}_\bullet. W kompleksie tym:
(K^{+})_n = K_{n - 1}\;
\partial^{K^{+}} = - \partial^K

Geometrycznie zawieszenie jest wielościanem, który można uzyskać z iloczynu K \times I poprzez ściągnięcie do punktu każdej z podstaw: (x,0) \sim (x', 0)\, i (x,1) \sim (x', 1)\, dla dowolnych x, x' \in X\;[2].

Homotopie łańcuchowe[edytuj | edytuj kod]

Mając dane dwa przekształcenia łańcuchowe f = (f_n)_{n \in \mathbb{N}}, g = (g_n)_{n \in \mathbb{N}} między kompleksami (A_\bullet, \partial_\bullet) a (B_\bullet, \partial'_\bullet), powiemy, że ciąg morfizmów P_n\colon A_n \to B_{n+1} jest homotopią łańcuchową między f i g, jeżeli spełniona jest zależność

\partial'_{n+1} P_n + P_{n-1} \partial_n = f_n - g_n.

Homotopijne łańcuchowo przekształcenia łańcuchowe indukują ten sam morfizm na homologiach - istotnie, jeżeli \alpha \in A_n jest cyklem, to mamy:

f_n(\alpha) - g_n(\alpha) = \partial'_{n+1} P_n(\alpha) + P_{n-1} \partial_n(\alpha) = \partial'_{n+1} P_n(\alpha)

gdyż P_{n-1} \partial_n(\alpha) = P_{n-1}(0) = 0, bo \alpha jest cyklem. Stąd f_n(\alpha) - g_n(\alpha)\; jest brzegiem, zatem po przejściu do grup homologii ta różnica jest zerem.

Ciągi dokładne kompleksów łańcuchowych[edytuj | edytuj kod]

Krótkim ciągiem dokładnym kompleksów łańcuchowych A_\bullet, B_\bullet, C_\bullet nazwiemy przekształcenia łańcuchowe f_\bullet = (f_n)_{n \in \mathbb{N}}, g_\bullet = (g_n)_{n \in \mathbb{N}}, takie, że dla każdego n, następujący ciąg jest dokładny:

0 \rightarrow A_n \xrightarrow{f_n} B_n \xrightarrow{g_n} C_n \rightarrow 0

Znanym faktem z algebry homologicznej jest to, że każdy krótki ciąg dokładny kompleksów łańcuchowych można "wyprostować" do długiego ciągu dokładnego grup homologii:

\cdots \rightarrow H_{n+1}(C) \xrightarrow{\partial'_{n+1}} H_n(A) \xrightarrow{f_n} H_n(B) \xrightarrow{g_n} H_n(C) \xrightarrow{\partial'_n} H_{n-1}(A) \rightarrow \cdots

gdzie \partial'_\bullet są naturalne. Istnienie przekształceń \partial'_\bullet można wykazać, stosując np. lemat o wężu do odpowiedniego diagramu.

Przykłady kompleksów łańcuchowych[edytuj | edytuj kod]

W topologii algebraicznej występuje szereg kompleksów łańcuchowych.

Singularny kompleks łańcuchowy[edytuj | edytuj kod]

Mając dowolną przestrzeń topologiczną X możemy zbudować kompleks łańcuchowych w następujący sposób:

Niech C_n(X) będzie wolną grupą abelową, której zbiorem generatorów jest zbiór wszystkich ciągłych przekształceń \sigma\colon \Delta^n \to X z n-sympleksu w X. Określmy operator brzegu przez

\partial_n(\sigma) = \sum_{i=0}^n (-1)^i \sigma | [v_0, v_1, \ldots, \hat{v_i}, \ldots, v_n]

gdzie [v_0, v_1, \ldots, v_n] oznacza sympleks rozpięty na wierzchołkach v_0, v_1, \ldots, v_n, a \hat{v_i} oznacza, że ten wierzchołek opuszczamy.

Proste przekształcenia pozwalają stwierdzić, że istotnie \partial_{n-1} \partial_n = 0, co dowodzi, że (C(X), \partial) jest kompleksem łańcuchowym. Pozwala nam rozpatrywać homologie H_n(X)\; tego kompleksu, zwane grupami homologii singularnych przestrzeni X\;.

Kompleksy kołańcuchowe[edytuj | edytuj kod]

Jak wiele innych konstrukcji w algebrze, tak również kompleksy łańcuchowe poddają się procesowi dualizacji. Mówimy wtedy o kompleksach kołańcuchowych. Formalna definicja jest niemal identyczna jak w przypadku kompleksów łańcuchowych, z tą tylko różnicą, że operatory brzegu \partial_n\colon A_n \to A_{n+1} podnoszą, zamiast obniżać, stopień. Również w tym wypadku, dwukrotne zastosowanie operatora brzegu ma dawać zero. Kompleks kołańcuchowy wygląda następująco:

\cdots \to 
A_{n+1} \xleftarrow{\partial_{n}} A_n \xleftarrow{\partial_{n-1}} A_{n-1} \xleftarrow{\partial_{n-2}} A_{n-2} \to
 \cdots  \xleftarrow{\partial_1} A_1 \xleftarrow{\partial_0}
A_0 \xleftarrow{\partial_{-1}} A_{-1} \xleftarrow{\partial_{-2}} A_{-2} \xleftarrow{\partial_{-3}} 
\cdots

Podobnie definiujemy wówczas grupy kohomologii, przekształcenia kołańcuchowe itd.

Przypisy

  1. Dold (tłum. ros.), op. cit., s. 27
  2. Greenberg, op. cit., s.105

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Stanisław Balcerzyk: Wstęp do algebry homologicznej. Warszawa: PWN, 1972.
  2. Albrecht Dold: Lectures on algebraic topology. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1972, seria: Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaft.
  3. Marvin Greenberg: Wykłady z topologii algebraicznej. Warszawa: PWN, 1980. ISBN 83-01-00415-0.