Kompleks de Rhama

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kompleksem de Rhama w przestrzeni \mathbb{R}^n nazywamy kompleks łańcuchowy

\Omega^{0}(\mathbb{R}^n) \xrightarrow{d} \Omega^{1}(\mathbb{R}^n) \xrightarrow{d} \cdots \xrightarrow{d} \Omega^{n}(\mathbb{R}^n)

gdzie

  • \Omega^{q}(\mathbb{R}^n) jest \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}^n)-modułem q-form różniczkowych dla każdego q \in \{1, 2, \cdots, n \},
  • d\; jest operatorem różniczkowania form różniczkowych.

Elementy jądra operatora d\; nazywamy formami zamkniętymi, a elementy obrazu nazywamy formami dokładnymi. Kompleks de Rhama umożliwia rozwiązywanie układów równań różniczkowych w zbiorze form zamkniętych. Na przykład, aby znaleźć w \mathbb{R}^2 zamknięte formy postaci

f dx + g dy\;,

należy rozwiązać równanie różniczkowe

\frac{\partial f}{\partial x}\, - \, \frac{\partial f}{\partial y} = 0.

Formami dokładnymi kompleksu de Rhama są znane z analizy: gradient, dywergencja i rotacja.

Za pomocą operatora różniczkowania form można sformułować twierdzenie Stokesa:

\int\limits_{\partial D} \omega = \int\limits_D d\;\omega ,

gdzie D\; jest obszarem w \mathbb{R}^n, a \partial D - jego brzegiem. Wynika stąd, że całka z formy zamkniętej na brzegu dowolnego obszaru jest równa zero.

W podobny sposób, jak w \mathbb{R}^n, można zdefiniować kompleks de Rhama dla dowolnej rozmaitości różniczkowalnej. Zamiast przestrzeni \mathbb{R}^n można rozważać przestrzeń \mathbb{C}^n nad ciałem liczb zespolonych \mathbb{C}.

Uściślenie definicji[edytuj | edytuj kod]

Algebra form różniczkowych[edytuj | edytuj kod]

Niech x_1,\cdots, x_n będą współrzędnymi w \mathbb{R}^n. Niech \Omega^{*}\; będzie algebrą nad ciałem \mathbb{R} generowaną symbolami dx_1,\cdots, dx_n i o działaniu  \wedge\;, dla których spełnione są dwie zależności:

  • dx_i \wedge dx_i = (dx_i)^2 = 0\;
  • dx_i \wedge dx_j = -dx_j \wedge dx_i, i \neq j

Jako przestrzeń wektorowa nad ciałem \mathbb{R} algebra \Omega^{*}\; ma bazę:

1\;,
dx_i\;,
dx_i \wedge dx_j\; dla i < j\;,
dx_i \wedge dx_j \wedge dx_k\; dla i < j < k\;,
...,
dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_n\;

Algebrą \Omega^{*}(\mathbb{R}^n)\; jest algebra

\Omega^{*}(\mathbb{R}^n) = \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}^n) \otimes_{\mathbb{R}} \Omega^{*}, gdzie \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}^n) jest algebrą funkcji gładkich na \mathbb{R}^n.

Elementy algebry \Omega^{*}(\mathbb{R}^n)\; nazywamy formami różniczkowalnymi na \mathbb{R}^n.

Jeżeli \omega \in \Omega^{*}(\mathbb{R}^n)\;, to formę \omega\; można przedstawić jednoznacznie w postaci[1]:

\omega = \sum f_{i_1 \cdots i_q}dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_q} = \sum f_I dx_I, gdzie 1 \leqslant i_1 < i_2 < \cdots < i_q \leqslant n, a f_{i_1 \cdots i_q} \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}^n).

Jeśli dla każdego składnika sumy \omega = \sum f_{i_1 \cdots i_q}dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_q} liczba q jest stała, to formę \omega\; nazywa się gładką q-formą i zapisuje się ten fakt następująco:

\omega \in \Omega^{q}(\mathbb{R}^n),

gdzie \Omega^{q}(\mathbb{R}^n) jest modułem nad pierścieniem \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}^n). Można to także zapisać \;deg(\omega) = q.

W module \Omega^{*}(\mathbb{R}^n) określona jest gradacja

\Omega^{*}(\mathbb{R}^n) = \bigoplus {_{q\; =\; 0}^n} \Omega^{q}(\mathbb{R}^n).

Operator d różniczkowania form różniczkowych[edytuj | edytuj kod]

Operator różniczkowania form różniczkowych

d: \Omega^{q}(\mathbb{R}^n) \rightarrow \Omega^{q + 1}(\mathbb{R}^n)

jest określony w następujący sposób[2]:

  1. Jeśli f \in \Omega^{0}(\mathbb{R}^n), to df = \sum {\partial f \over \partial x_i} dx_i.
  2. Jeśli \omega = \sum f_I dx_I, to d \omega = df_I \wedge dx_I.

Elementy jądra operatora różniczkowania są nazywane formami zamkniętymi, a elementy jego obrazu - formami dokładnymi. Każda forma dokładna jest zamknięta. Wynika to z równości d^2 \omega = 0\;.

Własności operatora d[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli \omega \in \Omega^{p}(\mathbb{R}^n), \tau \in \Omega^{q}(\mathbb{R}^n), to
d(\omega \wedge \tau) = (d \omega) \wedge \tau + (- 1)^{deg\, \omega}\omega \wedge \tau.
  • d^2 = 0\;; dowodzi się tej równości w dwóch etapach
dla funkcji d^2 f = d (\sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i}\,dx_i) = \sum_{i, j} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}, gdzie współczynniki {\partial^2 f} \over {\partial x_i \partial x_j} są symetryczne, a iloczyny dx_i \wedge dx_j są antysymetryczne, bo dx_i \wedge dx_j = - dx_j \wedge dx_i, skąd d^2 f = 0\;
dla form \omega = f_I dx_I\; mamy d^2 \omega = d (df_I \wedge dx_I) = d^2 f_I \wedge dx_I = 0.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli \omega = x dy\;, to d \omega = dx \wedge dy
  • Dla przypadku przestrzeni \mathbb{R}^3 moduły \Omega^0(\mathbb{R}^3) i \Omega^3(\mathbb{R}^3) mają rangę 1 nad  \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}^3) . Dlatego możliwe są następujące utożsamienia:
\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}^3) \simeq \Omega^0(\mathbb{R}^3) \simeq \Omega^3(\mathbb{R}^3),
a konkretnie
f \longleftrightarrow f \longleftrightarrow f dx \wedge dy \wedge dz
  • Dla przypadku przestrzeni \mathbb{R}^3 moduły \Omega^1(\mathbb{R}^3) i \Omega^2(\mathbb{R}^3) mają rangę 3. Dlatego możliwe jest utożsamienie gładkich pól wektorowych, 1-form i 2-form:
\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}^3) \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{R}^3 \simeq \Omega^1(\mathbb{R}^3) \simeq \Omega^2(\mathbb{R}^3),
a konkretnie
X = (f_1, f_2, f_3) \longleftrightarrow f_1 dx + f_2 dy + f_3 dz \longleftrightarrow f_1 dx \wedge dy - f_2 dx \wedge dz + f_3 dy \wedge dz
  • W przestrzeni trójwymiarowej \mathbb{R}^3:
Dla funkcji f forma df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy + \frac{\partial f}{\partial z}\,dz jest gradientem.
Dla 1-formy \omega =  f_1 dx + f_2 dy + f_3 dz\; forma d\omega = (\frac{\partial f_3}{\partial y} - \frac{\partial f_2}{\partial z})\,dy \wedge dz + (\frac{\partial f_1}{\partial z} - \frac{\partial f_3}{\partial x})\,dx \wedge dz + (\frac{\partial f_2}{\partial x} - \frac{\partial f_1}{\partial y})\,dx \wedge dy jest rotacją.
Dla 2-formy \omega = f_1 dy \wedge dz - f_2 dx \wedge dz + f_3 dx \wedge dy forma d\omega = (\frac{\partial f_1}{\partial x} + \frac{\partial f_2}{\partial y} + \frac{\partial f_3}{\partial z})\,dx \wedge dy \wedge dz jest dywergencją.

Przypisy

  1. Raoul Bott, Loring W. Tu: Differential Forms in Algebraic Topology. Springer Verlag, 1982., tłum. ros. 1989, ss. 21
  2. Bott, Tu, op. cit., tłum. ros., 1989, ss. 21-22

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Raoul Bott, Loring W. Tu: Differential Forms in Algebraic Topology. Springer Verlag, 1982.
  • G. de Rham: Variétés differentiables. Hermann, 1956.