Komutant

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Komutant – w teorii grup specjalna podgrupa danej grupy pomocna w badaniu jej właściwości, szczególnie zaś przemienności.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech G będzie dowolną grupą, zaś A,\; B \subseteq G dowolnymi zbiorami zawartymi w G. Komutantem [A,\; B] nazywamy podgrupę grupy G generowaną przez wszystkie komutatory, czyli elementy [a,\; b] = aba^{-1}b^{-1}, gdzie a \in A,\; b \in B.

Komutant grupy[edytuj | edytuj kod]

Komutant (lub pochodna) grupy G to [G,\; G], używa się również oznaczeń G' oraz G^{(1)}. Indukcyjnie definiuje się także n-tą pochodną grupy G jako: G^{(n+1)}=[G^{(n)},G^{(n)}], wg tej konwencji przez G^{(0)} oznacza się po prostu grupę G.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Abelianizacja[edytuj | edytuj kod]

Grupę ilorazową G/[G,\; G] oznaczaną G_\mathrm{ab} bądź G^\mathrm{ab} nazywa się abelianizacją bądź uprzemiennieniem grupy G. Abelianizacja grupy, jak sama nazwa wskazuje, jest grupą abelową. Jest to największa grupa abelowa zawierająca się w tej grupie. Co więcej, grupa ilorazowa G/H jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy H zawiera [G,\; G]. „Wysoce nieprzemienne” grupy, czyli takie, których abelianizacje są grupami trywialnymi nazywane są grupami doskonałymi.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
  • Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4.