Komutant

Z Wikipedii

Komutant – w teorii grup specjalna podgrupa danej grupy pomocna w badaniu jej właściwości, szczególnie zaś przemienności.

[edytuj] Definicja

Niech G będzie dowolną grupą, zaś dowolnymi zbiorami zawartymi w G. Komutantem nazywamy podgrupę grupy G generowaną przez wszystkie komutatory (elementy , gdzie ).

[edytuj] Komutant grupy

Komutant (lub pochodna) grupy G to , używa się również oznaczeń G' oraz G⁽¹⁾. Indukcyjnie definiuje się także n-tą pochodną grupy G jako: G^{(n + 1)} = [G⁽ⁿ⁾,G⁽ⁿ⁾], wg tej konwencji przez G⁽⁰⁾ oznacza się po prostu grupę G.

[edytuj] Własności

• Jeżeli dla pewnego n grupa G⁽ⁿ⁾ jest trywialna, to G jest grupą rozwiązalną (jest to jedna z alternatywnych definicji).
• Jeżeli grupa jest trywialna, to G jest abelowa.
• Komutant grupy jest jej podgrupą charakterystyczną, a zatem podgrupą normalną.

[edytuj] Abelianizacja

Grupę ilorazową oznaczaną G_ab bądź G^ab nazywa się abelianizacją bądź uprzemiennieniem grupy G. Abelianizacja grupy, jak sama nazwa wskazuje, jest grupą abelową. Jest to największa grupa abelowa zawierająca się w tej grupie. Co więcej, grupa ilorazowa G / H jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy H zawiera . „Wysoce nieprzemienne” grupy, czyli takie, których abelianizacje są grupami trywialnymi nazywane są grupami doskonałymi.

[edytuj] Bibliografia

• A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
• Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• grupa rozwiązalna,
• grupa doskonała.