Komutant

Komutant – w teorii grup specjalna podgrupa danej grupy pomocna w badaniu jej właściwości, szczególnie zaś przemienności.

Definicja

Niech $G$ będzie dowolną grupą, zaś $A,\; B \subseteq G$ dowolnymi zbiorami zawartymi w $G$. Komutantem $[A,\; B]$ nazywamy podgrupę grupy $G$ generowaną przez wszystkie komutatory (elementy $[a,\; b] = aba^{-1}b^{-1}$, gdzie $a \in A,\; b \in B$).

Komutant grupy

Komutant (lub pochodna) grupy $G$ to $[G,\; G]$, używa się również oznaczeń $G'$ oraz $G^{(1)}$. Indukcyjnie definiuje się także n-tą pochodną grupy $G$ jako: $G^{(n+1)}=[G^{(n)},G^{(n)}]$, wg tej konwencji przez $G^{(0)}$ oznacza się po prostu grupę $G$.

Własności

• Jeżeli dla pewnego $n$ grupa $G^{(n)}$ jest trywialna, to $G$ jest grupą rozwiązalną (jest to jedna z alternatywnych definicji).
• Jeżeli grupa $[G,\; G]$ jest trywialna, to $G$ jest abelowa.
• Komutant grupy jest jej podgrupą charakterystyczną, a zatem podgrupą normalną.

Abelianizacja

Grupę ilorazową $G/[G,\; G]$ oznaczaną $G_\mathrm{ab}$ bądź $G^\mathrm{ab}$ nazywa się abelianizacją bądź uprzemiennieniem grupy $G$. Abelianizacja grupy, jak sama nazwa wskazuje, jest grupą abelową. Jest to największa grupa abelowa zawierająca się w tej grupie. Co więcej, grupa ilorazowa $G/H$ jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy $H$ zawiera $[G,\; G]$. „Wysoce nieprzemienne” grupy, czyli takie, których abelianizacje są grupami trywialnymi nazywane są grupami doskonałymi.

Zobacz też

• grupa rozwiązalna
• grupa doskonała

Bibliografia

• A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
• Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4.