Komutator (matematyka)

Komutator – w matematyce wskaźnik stopnia nieprzemienności pewnego działania dwuargumentowego. Definicje w teorii grup oraz teorii pierścieni różnią się między sobą.

Teoria grup

Komutator dwóch elementów $g$ i $h$ należących do grupy $G$ to element

$[g, h] = g^{-1}h^{-1}gh$.

Jest on równy jedynce grupy wtedy i tylko wtedy, gdy $g$ i $h$ komutują (czyli są przemienne, tzn. $gh = hg$). Podgrupa grupy $G$ generowana przez wszystkie komutatory nazywana jest komutantem grupy $G$. Warto zauważyć, że należy rozważać podgrupę generowaną przez zbiór komutatorów, ponieważ w ogólności nie jest on zamknięty ze względu na działanie grupowe. Komutatory stosuje się w definicjach grup nilpotentnych i rozwiązalnych.

Uwaga 

Powyższa definicja komutatora służy przede wszystkim matematykom badającym teorię grup. Wielu innych matematyków definiuje komutator jako

$[g, h] = ghg^{-1}h^{-1}$.

Tożsamości

W tej sekcji wyrażenie $g^x$ oznacza sprzężony (przez $x$) element $x^{-1}gx$.

• $[y,x] = [x,y]^{-1}$.
• $\left[[x, y^{-1}], z\right]^y \cdot \left[[y, z^{-1}], x\right]^z \cdot \left[[z, x^{-1}], y\right]^x = 1$.
• $[x y, z] = [x, z]^y \cdot [y, z]$.
• $[x, y z] = [x, z] \cdot [x, y]^z$.

Druga z tożsamości znana jest jako tożsamość Halla-Witta, która jest teoriogrupowym analogonem tożsamości Jacobiego komutatora z teorii pierścieni (zob. następna sekcja). Czwarta równość wynika z pierwszej i trzeciej.

Uwaga 

Powyższa definicja sprzężenia $g$ przez $x$ używana jest przez badaczy teorii grup. Wielu innych matematyków definiuje sprzężenie $g$ przez $x$ jako $xax^{-1}$, zwykle zapisuje się to jako ${}^x g$.

Teoria pierścieni

Komutator dwóch elementów $a$ i $b$ pierścienia lub algebry łącznej zdefiniowany jest jako

$[a, b] = ab - ba$.

Ma on wartość zero wtedy i tylko wtedy, gdy $a$ i $b$ są przemienne (komutują). W algebrze liniowej jeżeli dwa endomorfizmy przestrzeni są reprezentowane przez komutujące macierze względem jednej bazy, to są one tak reprezentowane w każdej bazie.

Zastosowanie komutatora jako nawiasu Liego umożliwia przekształcenie dowolnej algebry łącznej w algebrę Liego.

Tożsamości

Komutator ma następujące własności:

Wzory dla algebr Liego:

• $[A, A] = 0$,
• $[A, B] = - [B, A]$,
• $[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0$.

Druga relacja nazywana jest antyprzemiennością, a trzecia znana jest jako tożsamość Jacobiego.

Dodatkowe wzory:

• $[A, BC] = [A,B]C + B[A, C]$,
• $[AB, C] = A[B,C] + [A, C]B$,
• $[A, BC] = [AB,C] + [CA, B]$,
• $[ABC, D] = AB[C,D] + A[B, D]C + [A, D]BC$,
• $[[[A, B], C], D] + [[[B, C], D], A] + [[[C, D], A], B] + [[[D, A], B], C] = [[A, C], [B, D]]$.

Jeżeli $A$ jest ustalonym elementem pierścienia $\mathfrak R$, pierwszy dodatkowy wzór może być interpretowany jako reguła Leibniza dla odwzorowania $D_A\colon R \to R$ danego wzorem $B \mapsto [A, B]$. Innymi słowy, odwzorowanie $D_A$ definiuje różniczkowanie w pierścieniu $\mathfrak R$.

Użyteczna jest również następująca tożsamość komutatorowa będąca przypadkiem szczególnym wzoru Bakera-Cambella-Hausdorffa:

• $e^{A}B e^{-A} = B + [A, B] + \tfrac{1}{2!}[A, [A, B]] + \tfrac{1}{3!} [A, [A, [A, B]]] + \dots$.

Przykład

Niech dane będą dwa operatory: różniczkowy $\operatorname{d}$, który przekształca funkcję w jej pochodną oraz $\operatorname{x}$, który przekształca funkcję w iloczyn niej samej i jej argumentu.

Badanie nieprzemienności tych operatorów na niezerującej się funkcji różniczkowalnej $F$ przebiega jak następuje:

• $\operatorname{d}(\operatorname{x}\;F) = \operatorname{dx}\;F + \operatorname{xd}\;F = F + \operatorname{xd}\;F$, ponieważ $\operatorname{dx} = 1$,
• $\operatorname{x}(\operatorname{d}\;F) = \operatorname{xd}\;F$.

Odjęcie tych równań stronami daje:

$\operatorname{d}(\operatorname{x}\;F) - \operatorname{x}(\operatorname{d}\;F) = F + \operatorname{xd}\;F - \operatorname{xd}\;F$,

$\operatorname{d}(\operatorname{x}\;F) - \operatorname{x}(\operatorname{d}\;F) = F$.

Po wyłączeniu poza nawias i podzieleniu przez $F$ jest

$(\operatorname{dx} - \operatorname{xd})F = F$,

$(\operatorname{dx} - \operatorname{xd}) = 1$, czyli $[\operatorname{d}, \operatorname{x}] = 1$.

Stąd wynik zastosowania obu operatorów $\operatorname{d}$ i $\operatorname{x}$ na funkcję $F$ zależy od ich kolejności, na co wskazuje również komutator równy jedności.

Pierścienie i algebry z gradacją

Podczas badania algebr z gradacją komutator zastępuje się zwykle komutatorem z gradacją definiowanym w języku składowych jednorodnych jako $[\omega,\eta]_{gr} := \omega\eta - (-1)^{\deg \omega \deg \eta}\eta \omega$.

Różniczkowania

Szczególnie jeżeli w grę wchodzi posługiwanie się wieloma komutatorami, użyteczny okazuje się być inny zapis korzystający z reprezentacji sprzężeniowej

$\operatorname{ad}(x)(y) = [x, y]$.

Wówczas $\operatorname{ad}(x)$ jest różniczkowaniem, a $\operatorname{ad}$ jest liniowe, np. $\operatorname{ad}(x + y) = \operatorname{ad}(x) + \operatorname{ad}(y)$ oraz $\operatorname{ad}(\lambda x) = \lambda \operatorname{ad}(x)$ i homomorfizmem algebry Liego, np. $\operatorname{ad}([x, y]) = [\operatorname{ad}(x), \operatorname{ad}(y)]$, ale nie zawsze jest homomorfizmem algebr, np. tożsamość $\operatorname{ad}(xy) = \operatorname{ad}(x)\operatorname{ad}(y)$ w ogólności nie zachodzi.

Przykłady:

• $\operatorname{ad}(x) \operatorname{ad}(x)(y) = \left[x, [x, y]\right]$.
• $\operatorname{ad}(x) \operatorname{ad}(a+b)(y) = \left[x, [a + b, y]\right]$.

Komutator w fizyce

Komutator jest często używany fizyce kwantowej:

• W mechanice kwantowej procedura kwantowania kanonicznego polega na zastąpieniu nawiasów Poissona komutatorami, tzn. $[\operatorname{X}, \operatorname{P}] = \operatorname{XP}-\operatorname{PX} = i\hbar$, gdzie $\operatorname X$ oraz $\operatorname P$ stają się operatorami w przestrzeni Hilberta. Konsekwencją wprowadzenia takich reguł komutacyjnych jest zasada nieoznaczoności Heisenberga.
• W procedurze drugiej kwantyzacji (stosowanej dla układów wielu cząstek) wprowadzane są operatory kreacji i anihilacji cząstek, które w przypadku bozonów spełniają reguły komutacji, a fermionów antykomutacji.
• W definicjach funkcji Greena stosowane są komutatory dla bozonów oraz antykomutatory dla fermionów.

Antykomutator

Antykomutator $\{a, b\}$ lub $[a, b]_+$ definiowany jest jako $[a, b]_+ = ab + ba$. Przy stosowaniu oznaczenia z plusem zwykle komutator oznacza się odpowiednio znakiem minus $[a, b]_-$.

Z oznaczenia tego korzysta się w fizyce dla operatorów kreacji i anihilacji cząstek o spinie połówkowym (fermionach). Operatory te spełniają reguły antykomutacji, co związane jest z zakazem Pauliego mówiącym, że dany stan nie może być obsadzony przez dwie różne cząstki, tzn. $[\hat{a}^{\dagger}, \hat{a}]_+ = 0 = \hat{a}^{\dagger}\hat{a} + \hat{a}^{\dagger}\hat{a}$.

Operatory kreacji i anihilacji cząstek o spinie całkowitym (bozonów) spełniają reguły komutacji.

W rachunkach w fizyce, w których używane są komutatory i antykomutatory stosuje się zapis wariantowy z symbolem plus/minus lub minus/plus przy nawiasie kwadratowym $[\cdot, \cdot]_\pm$ odnosząc rachunki odpowiednio do antykomutatorów/komutatorów dla fermionów/bozonów.

W kwantowej teorii pola dla pól fermionowych stosuje się reguły antykomutacyjne oraz liczby Grassmana, czyli liczby rozpinające algebrę, w której generatory antykomutują (są antyprzemienne) między sobą oraz komutują (są przemienne) ze zwykłymi liczbami.

Zobacz też

• antyprzemienność
• algebra różniczkowa
• pochodna Pincherlego
• nawias Poissona
• kanoniczna relacja komutacji
• mechanika kwantowa

Bibliografia

• David J. Griffiths: Introduction to Quantum Mechanics. Wyd. drugie. Prentice Hall, 2004. ISBN 0-13-805326-X. 
• Liboff, Richard L.: Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley, 2002. ISBN 0-8053-8714-5.