Komutator (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: inne znaczenia tego terminu.

Komutator – w matematyce wskaźnik stopnia nieprzemienności pewnego działania dwuargumentowego. Definicje w teorii grup oraz teorii pierścieni różnią się między sobą.

Teoria grup[edytuj | edytuj kod]

Komutator dwóch elementów g i h należących do grupy G to element

[g, h] = g^{-1}h^{-1}gh.

Jest on równy jedynce grupy wtedy i tylko wtedy, gdy g i h komutują (czyli są przemienne, tzn. gh = hg). Podgrupa grupy G generowana przez wszystkie komutatory nazywana jest komutantem grupy G. Warto zauważyć, że należy rozważać podgrupę generowaną przez zbiór komutatorów, ponieważ w ogólności nie jest on zamknięty ze względu na działanie grupowe. Komutatory stosuje się w definicjach grup nilpotentnych i rozwiązalnych.

Uwaga 
Powyższa definicja komutatora służy przede wszystkim matematykom badającym teorię grup. Wielu innych matematyków definiuje komutator jako
[g, h] = ghg^{-1}h^{-1}.

Tożsamości[edytuj | edytuj kod]

W tej sekcji wyrażenie g^x oznacza sprzężony (przez x) element x^{-1}gx.

  • [y,x] = [x,y]^{-1}.
  • \left[[x, y^{-1}], z\right]^y \cdot \left[[y, z^{-1}], x\right]^z \cdot \left[[z, x^{-1}], y\right]^x = 1.
  • [x y, z] = [x, z]^y \cdot [y, z].
  • [x, y z] = [x, z] \cdot [x, y]^z.

Druga z tożsamości znana jest jako tożsamość Halla-Witta, która jest teoriogrupowym analogonem tożsamości Jacobiego komutatora z teorii pierścieni (zob. następna sekcja). Czwarta równość wynika z pierwszej i trzeciej.

Uwaga 
Powyższa definicja sprzężenia g przez x używana jest przez badaczy teorii grup. Wielu innych matematyków definiuje sprzężenie g przez x jako xax^{-1}, zwykle zapisuje się to jako {}^x g.

Teoria pierścieni[edytuj | edytuj kod]

Komutator dwóch elementów a i b pierścienia lub algebry łącznej zdefiniowany jest jako

[a, b] = ab - ba.

Ma on wartość zero wtedy i tylko wtedy, gdy a i b są przemienne (komutują). W algebrze liniowej jeżeli dwa endomorfizmy przestrzeni są reprezentowane przez komutujące macierze względem jednej bazy, to są one tak reprezentowane w każdej bazie.

Zastosowanie komutatora jako nawiasu Liego umożliwia przekształcenie dowolnej algebry łącznej w algebrę Liego.

Tożsamości[edytuj | edytuj kod]

Komutator ma następujące własności:

Wzory dla algebr Liego:

  • [A, A] = 0,
  •  [A, B] = - [B, A],
  • [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0.

Druga relacja nazywana jest antyprzemiennością, a trzecia znana jest jako tożsamość Jacobiego.

Dodatkowe wzory:

  •  [A, BC] = [A,B]C + B[A, C],
  •  [AB, C] = A[B,C] + [A, C]B,
  •  [A, BC] = [AB,C] + [CA, B],
  •  [ABC, D] = AB[C,D] + A[B, D]C + [A, D]BC,
  •  [[[A, B], C], D] + [[[B, C], D], A] + [[[C, D], A], B] + [[[D, A], B], C] = [[A, C], [B, D]].

Jeżeli A jest ustalonym elementem pierścienia \mathfrak R, pierwszy dodatkowy wzór może być interpretowany jako reguła Leibniza dla odwzorowania D_A\colon R \to R danego wzorem B \mapsto [A, B]. Innymi słowy, odwzorowanie D_A definiuje różniczkowanie w pierścieniu \mathfrak R.

Użyteczna jest również następująca tożsamość komutatorowa będąca przypadkiem szczególnym wzoru Bakera-Cambella-Hausdorffa:

  •  e^{A}B e^{-A} = B + [A, B] + \tfrac{1}{2!}[A, [A, B]] + \tfrac{1}{3!} [A, [A, [A, B]]] + \dots.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Niech dane będą dwa operatory: różniczkowy \operatorname{d}, który przekształca funkcję w jej pochodną oraz \operatorname{x}, który przekształca funkcję w iloczyn niej samej i jej argumentu.

Badanie nieprzemienności tych operatorów na niezerującej się funkcji różniczkowalnej F przebiega jak następuje:

  • \operatorname{d}(\operatorname{x}\;F) = \operatorname{dx}\;F + \operatorname{xd}\;F = F + \operatorname{xd}\;F, ponieważ \operatorname{dx} = 1,
  • \operatorname{x}(\operatorname{d}\;F) = \operatorname{xd}\;F.

Odjęcie tych równań stronami daje:

\operatorname{d}(\operatorname{x}\;F) - \operatorname{x}(\operatorname{d}\;F) = F + \operatorname{xd}\;F - \operatorname{xd}\;F,
\operatorname{d}(\operatorname{x}\;F) - \operatorname{x}(\operatorname{d}\;F) = F.

Po wyłączeniu poza nawias i podzieleniu przez F jest

(\operatorname{dx} - \operatorname{xd})F = F,
(\operatorname{dx} - \operatorname{xd}) = 1, czyli [\operatorname{d}, \operatorname{x}] = 1.

Stąd wynik zastosowania obu operatorów \operatorname{d} i \operatorname{x} na funkcję F zależy od ich kolejności, na co wskazuje również komutator równy jedności.

Pierścienie i algebry z gradacją[edytuj | edytuj kod]

Podczas badania algebr z gradacją komutator zastępuje się zwykle komutatorem z gradacją definiowanym w języku składowych jednorodnych jako [\omega,\eta]_{gr} := \omega\eta - (-1)^{\deg \omega \deg \eta}\eta \omega.

Różniczkowania[edytuj | edytuj kod]

Szczególnie jeżeli w grę wchodzi posługiwanie się wieloma komutatorami, użyteczny okazuje się być inny zapis korzystający z reprezentacji sprzężeniowej

\operatorname{ad}(x)(y) = [x, y].

Wówczas \operatorname{ad}(x) jest różniczkowaniem, a \operatorname{ad} jest liniowe, np. \operatorname{ad}(x + y) = \operatorname{ad}(x) + \operatorname{ad}(y) oraz \operatorname{ad}(\lambda x) = \lambda \operatorname{ad}(x) i homomorfizmem algebry Liego, np. \operatorname{ad}([x, y]) = [\operatorname{ad}(x), \operatorname{ad}(y)], ale nie zawsze jest homomorfizmem algebr, np. tożsamość \operatorname{ad}(xy) = \operatorname{ad}(x)\operatorname{ad}(y) w ogólności nie zachodzi.

Przykłady:

  • \operatorname{ad}(x) \operatorname{ad}(x)(y) = \left[x, [x, y]\right].
  • \operatorname{ad}(x) \operatorname{ad}(a+b)(y) = \left[x, [a + b, y]\right].

Komutator w fizyce[edytuj | edytuj kod]

Komutator jest często używany fizyce kwantowej:

Antykomutator[edytuj | edytuj kod]

Antykomutator \{a, b\} lub [a, b]_+ definiowany jest jako [a, b]_+ = ab + ba. Przy stosowaniu oznaczenia z plusem zwykle komutator oznacza się odpowiednio znakiem minus [a, b]_-.

Z oznaczenia tego korzysta się w fizyce dla operatorów kreacji i anihilacji cząstek o spinie połówkowym (fermionach). Operatory te spełniają reguły antykomutacji, co związane jest z zakazem Pauliego mówiącym, że dany stan nie może być obsadzony przez dwie różne cząstki, tzn. [\hat{a}^{\dagger}, \hat{a}]_+ = 0 = \hat{a}^{\dagger}\hat{a} + \hat{a}\hat{a}^{\dagger}.

Operatory kreacji i anihilacji cząstek o spinie całkowitym (bozonów) spełniają reguły komutacji.

W rachunkach w fizyce, w których używane są komutatory i antykomutatory stosuje się zapis wariantowy z symbolem plus/minus lub minus/plus przy nawiasie kwadratowym [\cdot, \cdot]_\pm odnosząc rachunki odpowiednio do antykomutatorów/komutatorów dla fermionów/bozonów.

W kwantowej teorii pola dla pól fermionowych stosuje się reguły antykomutacyjne oraz liczby Grassmana, czyli liczby rozpinające algebrę, w której generatory antykomutują (są antyprzemienne) między sobą oraz komutują (są przemienne) ze zwykłymi liczbami.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]