Kontrakcja (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Kontrakcja lub odwzorowanie zwężające – przekształcenie f z przestrzeni metrycznej (X, \varrho_X) w przestrzeń metryczną (Y, \varrho_Y), dla którego istnieje stała rzeczywista \alpha \in (0,1) taka, że dla dowolnych x_1, x_2 \in X zachodzi nierówność

{\varrho_Y(f(x_1),f(x_2))}\leqslant \alpha{\varrho_X(x_1,x_2)}.

Innymi słowy, kontrakcja to odwzorowanie spełniające warunek Lipschitza ze stałą mniejszą od 1. Najmniejsza stała \alpha, dla której powyższy warunek jest spełniony, bywa nazywana stałą kontrakcji.

Ciągłość[edytuj | edytuj kod]

Każda kontrakcja, jako odwzorowanie lipschitzowskie, jest odwzorowaniem jednostajnie ciągłym, a więc w szczególności ciągłym.

Twierdzenie Banacha[edytuj | edytuj kod]

Jeśli f:X\to X jest kontrakcją z niepustej przestrzeni zupełnej X w siebie, to twierdzenie Banacha o kontrakcji orzeka, że f ma dokładnie jeden punkt stały; co więcej, dla dowolnego punktu x\in X, ciąg x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), \dots jest zbieżny do wspomnianego punktu stałego.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]