Kontrakcja (matematyka)

Definicja

Kontrakcja lub odwzorowanie zwężające – przekształcenie $f$ z przestrzeni metrycznej $(X, \varrho_X)$ w przestrzeń metryczną $(Y, \varrho_Y)$, dla którego istnieje stała rzeczywista $\alpha \in (0,1)$ taka, że dla dowolnych $x_1, x_2 \in X$ zachodzi nierówność

${\varrho_Y(f(x_1),f(x_2))}\leqslant \alpha{\varrho_X(x_1,x_2)}.$

Innymi słowy, kontrakcja to odwzorowanie spełniające warunek Lipschitza ze stałą mniejszą od 1. Najmniejsza stała $\alpha$, dla której powyższy warunek jest spełniony, bywa nazywana stałą kontrakcji.

Ciągłość

Każda kontrakcja, jako odwzorowanie lipschitzowskie, jest odwzorowaniem jednostajnie ciągłym, a więc w szczególności ciągłym.

Twierdzenie Banacha

Jeśli $f:X\to X$ jest kontrakcją z niepustej przestrzeni zupełnej $X$ w siebie, to twierdzenie Banacha o kontrakcji orzeka, że $f$ ma dokładnie jeden punkt stały; co więcej, dla dowolnego punktu $x\in X$, ciąg $x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), \dots$ jest zbieżny do wspomnianego punktu stałego.

Zobacz też

• Odwzorowanie nierozszerzające