Kostka Tichonowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Kostka Tichonowa - konstrukcja mnogościowa w topologii, będąca przykładem przestrzeni uniwersalnej dla przestrzeni Tichonowa i przestrzeni zwartych.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Kostką Tichonowa I^\kappa wagi \kappa, gdzie \kappa jest nieskończoną liczbą kardynalną, nazywamy przestrzeń produktową

\prod_{s\in S}I_s,

gdzie I_s=[0,1] dla każdego elementu s zbioru S (S jest zbiorem mocy \kappa).

Kostkę I^{\aleph_0} z metryką

\varrho(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|x_n-y_n|}{2^n},\; x=(x_n)_{n<\omega},\; y=(y_n)_{n<\omega}\in\,^\omega [0,1]

nazywamy kostką Hilberta. Metryka \varrho wyznacza topologię w zbiorze I^{\aleph_0} identyczną z topologią Tichonowa (tj. wyjściową topologią kostki Tichonowa o wadze \aleph_0).

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Kostka Tichonowa wagi \kappa jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni Tichonowa o wadze nieskończonej wadze \kappa.
  • Kostka Tichonowa wagi \kappa jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni zwartych o nieskończonej wadze \kappa.
  • Na mocy twierdzenia Tichonowa, każda kostka Tichonowa jest zwarta.
  • Topologia wyznaczona przez metrykę w kostce Hilberta pokrywa się z jej topologią Tichonowa.
  • Twierdzenie Tichonowa: Każda przestrzeń Tichonowa jest homeomorficzna z podprzestrzenią kostki Tichonowa o wadze równej wadze tej przestrzeni.
  • Kostka Tichonowa (nieskończonej) wagi \kappa jest przestrzenią Eberleina wtedy i tylko wtedy, gdy \kappa=\aleph_0.

Literatura[edytuj | edytuj kod]

  1. Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 1976.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]