Kryterium Eisensteina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Kryterium Eisensteina - w teorii pierścieni, kryterium badania nierozkładalności wielomianów o współczynnikach z pewnego pierścienia z jednoznacznym rozkładem w pierścieniu wielomianów o współczynnikach z ciała ułamków wyjściowego pierścienia. Początkowo, sformułowane dla wielomianów o współczynnikach całkowitych.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech P będzie pierścieniem z jednoznacznym rozkładem i niech K będzie jego ciałem ułamków. Niech

f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_1x+a_0

będzie wielomianem o współczynnikach z pierścienia P. Jeśli istnieje element pierwszy p\in P taki, że

p|a_0,\, p|a_1,\,\ldots,\,p|a_{n-1},\, p\not|a_n oraz p^2\not| a_0,

to wielomian f jest nierozkładalny w pierścieniu K[x].

Szczególny przypadek[edytuj | edytuj kod]

Jeśli P jest pierścieniem liczb całkowitych, to jego ciałem ułamków jest ciało liczb wymiernych. Wystarczy wówczas zastąpić zwrot element pierwszy przez liczba pierwsza.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Wielomian f(x)=x^n+3x+3 jest nierozkładalny na mocy kryterium Eisensteina - p=3.
  • Jeśli p jest liczbą pierwszą, to wielomian
f(x)=\frac{x^p-1}{x-1}=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1

jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych. Istotnie,

f(x+1)=\frac{(x+1)^p-1}{x}=\frac{1}{x}\left(x^p+{p\choose 1}x^{p-1}+\cdots+{p\choose{p-1}}x\right)=x^{p-1}+{p\choose 1}x^{p-2}+\cdots+{p\choose{p-1}}

gdzie p \choose k oznacza symbole Newtona, na przykład {p\choose{p-1}}= p. Wszystkie współczynniki tego wielomianu z wyjątkiem najstarszego są podzielne przez p, ale p^2 nie dzieli p, zatem z kryterium Eisensteina wynika, że wielomian ten jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: PWN, 1975.