Kryterium Eisensteina

Kryterium Eisensteina - w teorii pierścieni, kryterium badania nierozkładalności wielomianów o współczynnikach z pewnego pierścienia z jednoznacznym rozkładem w pierścieniu wielomianów o współczynnikach z ciała ułamków wyjściowego pierścienia. Początkowo, sformułowane dla wielomianów o współczynnikach całkowitych.

Twierdzenie

Niech $P$ będzie pierścieniem z jednoznacznym rozkładem i niech $K$ będzie jego ciałem ułamków. Niech

$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_1x+a_0$

będzie wielomianem o współczynnikach z pierścienia $P$. Jeśli istnieje element pierwszy $p\in P$ taki, że

$p|a_0,\, p|a_1,\,\ldots,\,p|a_{n-1},\, p\not|a_n$ oraz $p^2\not| a_0$,

to wielomian $f$ jest nierozkładalny w pierścieniu $K[x]$.

Szczególny przypadek

Jeśli $P$ jest pierścieniem liczb całkowitych, to jego ciałem ułamków jest ciało liczb wymiernych. Wystarczy wówczas zastąpić zwrot element pierwszy przez liczba pierwsza.

Przykłady

• Wielomian $f(x)=x^n+3x+3$ jest nierozkładalny na mocy kryterium Eisensteina - $p=3$.
• Jeśli $p$ jest liczbą pierwszą, to wielomian

$f(x)=\frac{x^p-1}{x-1}=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1$

jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych. Istotnie,

$f(x+1)=\frac{(x+1)^p-1}{x}=\frac{1}{x}\left(x^p+{p\choose 1}x^{p-1}+\cdots+{p\choose{p-1}}x\right)=x^{p-1}+{p\choose 1}x^{p-2}+\cdots+{p\choose{p-1}}$

gdzie $p \choose k$ oznacza symbole Newtona, na przykład ${p\choose{p-1}}= p$. Wszystkie współczynniki tego wielomianu z wyjątkiem najstarszego są podzielne przez $p$, ale $p^2$ nie dzieli $p$, zatem z kryterium Eisensteina wynika, że wielomian ten jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych.

Bibliografia

1. Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: PWN, 1975.