Kryterium Sylvestera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kryterium Sylvestera - kryterium pozwalające badać dodatnią (lub ujemną) określoność macierzy kwadratowej.

Kryterium Sylvestera[edytuj | edytuj kod]

Macierz

A=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{bmatrix}

o współczynnikach rzeczywistych jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy jest symetryczna oraz jej wiodące minory główne są dodatnie,, tj.

a_{11}>0
\det\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1l}\\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2l}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{l1} & a_{l2} & \dots & a_{ll}
\end{bmatrix}>0 dla l\in\{2,\ldots,n\}.

Macierz A, taka jak wyżej, jest natomiast ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy jest symetryczna oraz

a_{11}<0
\det\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1l}\\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2l}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{l1} & a_{l2} & \dots & a_{ll}
\end{bmatrix}>0 dla l\in\{2,\ldots,n\}\cap 2\mathbb{N}
\det\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1l}\\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2l}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{l1} & a_{l2} & \dots & a_{ll}
\end{bmatrix}<0 dla l\in\{2,\ldots,n\}\cap (2\mathbb{N}-1),

gdzie 2\mathbb{N} i 2\mathbb{N}-1 oznaczają odpowiednio zbiór liczb parzystych i nieparzystych.

Reguła mnemotechniczna:

A= \begin{bmatrix}
+ &   &   &  \\
  & + &   &  \\
  &   & + &  \\
  &   &   & \ddots
\end{bmatrix}
\Rightarrow A \text{ -- dodatnio okreslona},
A= \begin{bmatrix}
- &   &   & \\
  & + &   & \\
  &   & - & \\
  &   &   & \ddots
\end{bmatrix}
\Rightarrow A \text{ -- ujemnie okreslona},

gdzie na przekątnej zaznaczono znaki minorów głównych (,,narożnikowych") \det\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1l}\\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2l}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{l1} & a_{l2} & \dots & a_{ll}
\end{bmatrix} ,\; l = 1,2,\ldots,n.

Jeśli macierz A można traktować jako macierz formy kwadratowej

f(x)=\sum_{j,k=1}^na_{jk}x_jx_k,\; a_{jk}=a_{kj},

to forma ta jest dodatnio (ujemnie) określona wtedy i tylko wtedy gdy jej macierz jest dodatnio (ujemnie) określona.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: PWN, 1975.