Kryterium Sylvestera

Kryterium Sylvestera – kryterium pozwalające badać dodatnią (lub ujemną) określoność symetrycznej macierzy. Nazwa pochodzi od brytyjskiego matematyka J. J. Sylvestera.

Kryterium Sylvestera

Niech

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{bmatrix}}$

będzie macierzą symetryczną o współczynnikach rzeczywistych.

Niech ponadto

$M_{1}=a_{11},$    $M_{2}=\det {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}},...$       $M_{l}=\det {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1l}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2l}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{l1}&a_{l2}&\dots &a_{ll}\end{bmatrix}}$

Wówczas

$A$ jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy jej wiodące minory główne są dodatnie, tj.

$M_{1}>0,\quad M_{2}>0,...\quad M_{n}>0$

czyli  $M_{l}>0$ dla $l\in \{1,\dots ,n\},$

$A$ jest ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy

$M_{1}<0,\quad M_{2}>0,\quad M_{3}<0,\quad M_{4}>0,...$

czyli  $M_{l}<0$ dla $l\in \{1,3,5,\dots \}$ (dla nieparzystych),  $M_{l}>0$ dla $l\in \{2,4,6,\dots \}$ (dla parzystych),

Reguła mnemotechniczna:

$A={\begin{bmatrix}+&&&\\&+&&\\&&+&\\&&&\ddots \end{bmatrix}}\Rightarrow A{\text{ -- dodatnio określona}},$

$A={\begin{bmatrix}-&&&\\&+&&\\&&-&\\&&&\ddots \end{bmatrix}}\Rightarrow A{\text{ -- ujemnie określona}},$

gdzie na przekątnej zaznaczono znaki minorów głównych (,,narożnikowych”) $M_{l},\quad l=1,2,\dots ,n.$

Jeśli macierz $A$ traktować jako macierz formy kwadratowej

$f(x)=\sum _{j,k=1}^{n}a_{jk}x_{j}x_{k},\;a_{jk}=a_{kj},$

to forma ta jest dodatnio (ujemnie) określona wtedy i tylko wtedy, gdy jej macierz jest dodatnio (ujemnie) określona.

Bibliografia

• Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975.brak strony w książce