Krzywa Jordana

Krzywa Jordana (albo łuk zwykły) - homeomorficzny obraz okręgu na płaszczyźnie. Definicja ta jest w pewnym sensie równoważna następującej:

Krzywą $\gamma$ na płaszczyźnie nazywamy odwzorowanie ciągłe przedziału $(\alpha, \beta)$ w płaszczyznę. Jeśli $\gamma (\alpha) = \gamma (\beta)$ krzywą tę nazywamy krzywą zamkniętą, a jeśli ponadto jest ona różnowartościowa w przedziale $\{ t: \alpha < t < \beta \}$, nazywamy ją krzywą Jordana. W praktyce krzywą Jordana nazywamy też obraz tej krzywej na płaszczyźnie i ten obiekt jest homeomorficzny z okręgiem. .

Z krzywą Jordana związanych jest kilka twierdzeń.

Twierdzenie o krzywej Jordana

Każda krzywa Jordana rozdziela płaszczyznę na dwa odrębne obszary i jest ich wspólnym brzegiem.

Który z zaznaczonych punktów należy do wnętrza wielokąta?

Twierdzenie to było przez długi czas uważane za oczywiste, po raz pierwszy zapisał je jednak Camille Jordan w 1887 roku, dzięki czemu nosi jego imię. Dosyć łatwo je udowodnić dla krzywych gładkich lub odcinkami gładkich, jednak dla krzywych niegładkich w żadnym punkcie jest to trudne zadanie. Pierwszy poprawny dowód twierdzenia Jordana podał w roku 1905 Oswald Veblen.

Twierdzenie Jordana-Schönfliesa

Dla każdej krzywej Jordana istnieje homeomorfizm płaszczyzny na siebie, który przeprowadza tę krzywą na okrąg.

Twierdzenie Jordana-Brouwera

Każda n-1 wymiarowa sfera zanurzona w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej rozdziela tę przestrzeń na dwa rozłączne obszary.

Twierdzenie to nie daje się uogólnić do odpowiednika twierdzenia Jordana-Schönfliesa dla n wymiarów - istnieją bryły, których powierzchnia jest homeomorficzna ze sferą, jednak zewnętrze nie jest homeomorficzne z zewnętrzem kuli. Pierwszą odkrytą taką bryłą była rogata sfera Alexandera.