Krzywa Kocha

Płatek Kocha

Krzywa Kocha to krzywa, którą można zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można więc narysować pewne jej przybliżenie.

Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i nazywane jest płatkiem Kocha (na rysunku z prawej).

Krok 0

Krok 1

Krok 2

Tworzenie Krzywej Kocha

Krzywa Kocha powstaje z odcinka, poprzez podzielenie go na 3 części i zastąpienie środkowej ząbkiem (o ramieniu długości równej 1/3 odcinka) takim, że wraz z usuwaną częścią tworzy trójkąt równoboczny. Krok ten jest powtarzany w nieskończoność dla każdego fragmentu odcinka.

Krok 0

Krzywa Kocha w kroku zerowym (k=0) jest odcinkiem. Zostanie on podzielony na 3 równe części, a środkową zastąpią dwa odcinki długości 1/3 l, nachylone względem niej pod kątem 60°. Wraz z wyciętym fragmentem mogłyby one utworzyć trójkąt równoboczny.

Krok 1

Krzywa Kocha w kroku pierwszym (k=1), po transformacji zawiera 4 odcinki, każdy równy 1/3 l. W kolejnym kroku każdy z tych odcinków ponownie zostanie podzielona 3 części, a środkową znów zastąpimy dwoma odcinkami.

Krok 2

Krzywa Kocha w kroku drugim (k=2) zawiera już 16 odcinków, każdy długości 1/9 l. W kolejnym kroku (k=3) powstanie 64 odcinków, każdy długości 1/27 l itd.

7 pierwszych kroków algorytmu generującego krzywą Kocha.

Wymiar

W tej sekcji obliczymy wymiar pojemnościowy (Kołmogorowa) krzywej Kocha. W tym celu rozpatrzmy $k$-ty krok konstrukcji. Mamy $4^k$ odcinków, każdy długości $(1/3)^k$. Tak więc:

$d=\lim \limits_{k\to\infty} \frac{\log(4^k)}{\log(1/_{{1/3}^k})}=\frac{\log(4)}{\log(3)} \approx1.26186$

Bibliografia

• Jacek Kudrewicz, Fraktale i chaos, WNT, Warszawa 2004.

Linki zewnętrzne

• Płatek Kocha (ang.) w encyklopedii MathWorld
• Płatek śniegu - konstrukcja i opis