Krzywa Kocha

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Płatek Kocha

Krzywa Kochakrzywa fraktalna, którą można zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można więc narysować pewne jej przybliżenie. Została opisana po raz pierwszy w pracy „Sur une courbe continue sans tangente obtenue par une construction géométrique élémentaire” przez Helgego von Kocha w roku 1904[1].

Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i nazywane jest płatkiem Kocha (na rysunku z prawej).

Krok 0
Krok 1
Krok 2

Tworzenie krzywej Kocha[edytuj | edytuj kod]

Krzywa Kocha powstaje z odcinka, poprzez podzielenie go na 3 części i zastąpienie środkowej ząbkiem (o ramieniu długości równej 1/3 odcinka) takim, że wraz z usuwaną częścią tworzy trójkąt równoboczny. Krok ten jest powtarzany w nieskończoność dla każdego fragmentu odcinka.

Krok 0[edytuj | edytuj kod]

Krzywa Kocha w kroku zerowym (k=0) jest odcinkiem. Zostanie on podzielony na 3 równe części, a środkową zastąpią dwa odcinki długości 1/3 l, nachylone względem niej pod kątem 60°. Wraz z wyciętym fragmentem mogłyby one utworzyć trójkąt równoboczny.

Krok 1[edytuj | edytuj kod]

Krzywa Kocha w kroku pierwszym (k=1), po transformacji zawiera 4 odcinki, każdy równy 1/3 l. W kolejnym kroku każdy z tych odcinków ponownie zostanie podzielona 3 części, a środkową znów zastąpimy dwoma odcinkami.

Krok 2[edytuj | edytuj kod]

Krzywa Kocha w kroku drugim (k=2) zawiera już 16 odcinków, każdy długości 1/9 l. W kolejnym kroku (k=3) powstanie 64 odcinków, każdy długości 1/27 l itd.

7 pierwszych kroków algorytmu generującego krzywą Kocha.

Wymiar[edytuj | edytuj kod]

W tej sekcji obliczymy wymiar pojemnościowy (Kołmogorowa) krzywej Kocha. W tym celu rozpatrzmy k-ty krok konstrukcji. Mamy 4^k odcinków, każdy długości (1/3)^k. Tak więc:

d=\lim \limits_{k\to\infty} \frac{\log(4^k)}{\log(1/_{{1/3}^k})}=\frac{\log(4)}{\log(3)} \approx1.26186

Przypisy

  1. Holly Trochet: A History of Fractal Geometry. W: MacTutor History of Mathematics [on-line]. 2009. [dostęp 2014-07-03].

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Commons in image icon.svg