Krzywa Lorenza

Krzywa Lorenza – w statystyce krzywa opisująca stopień koncentracji (nierównomierności podziału globalnego zasobu cechy) jednowymiarowego rozkładu zmiennej losowej o wartościach nieujemnych.

Jest ona często wykorzystywana w ekonometrii do liczbowego wyrażania koncentracji kapitału i nierównomierności zarobków. Ma również zastosowania w ekologii.

Definicja

Jeśli obserwacje statystyczne w próbie o liczności $N$ są posortowane ze względu na wartości cechy $Z$, która przyjmuje wartości nieujemne i choć dla jednej obserwacji jest dodatnia, czyli:

$0\leqslant z_1\leqslant z_2\leqslant\dots\leqslant z_N$

$\sum_{i=1}^N z_i>0$

wówczas krzywa Lorenza jest łamaną, której wierzchołki $(x_h, y_h)\;$, dla $h=0,1,\dots,N$, mają współrzędne:

$x_0=y_0=0\;$

$x_h=\frac{h}{N}$

$y_h=\frac{\sum_{i=1}^h z_i}{\sum_{i=1}^N z_i}$

gdzie $h=1,2,\dots,N$

Krzywa Lorenza zawiera się w kwadracie jednostkowym, przy czym jej końce to dolny lewy i górny prawy wierzchołek kwadratu (oczywiście $x_N=y_N=1\;$). Pole pomiędzy nią a przekątną kwadratu nazywane jest wskaźnikiem Giniego.

Czasem też rysuje się nieznormalizowaną krzywą Lorenza, dla której:

$x_h=h\;$

$y_h=\sum_{i=1}^h z_i\;$

Wówczas nieco utrudnione jest obliczanie wskaźnika Giniego, ale oś OY można opisać w jednostkach danego dobra (np. w PLN).

Przykład interpretacji

Jeśli jakiś punkt krzywej Lorenza ma współrzędne $(0,6;0,3),$ to oznacza, że suma 60% obserwacji o najmniejszych wartościach stanowi 30% całej sumy, np. 60% najbiedniejszych ludzi posiada 30% całego majątku społeczeństwa.

Im bliżej przekątnej jest krzywa Lorenza, tym rozkład jest bardziej równomierny.

Zastosowanie w ekonometrii

Krzywa Lorenza jest często wykorzystywana w ekonometrii do opisywania stopnia nierówności dystrybucji dochodów w społeczeństwie.

Krzywa nachylona pod kątem 45 stopni przedstawia równomierny rozkład dochodów w społeczeństwie. Równomierny rozkład dochodów oznacza np., że 80% dochodów otrzymuje 80% społeczeństwa (punkt E). Przykładem nierówności może być fakt, że 80% ludności dysponuje zaledwie 50% dochodów (Punkt E'). Natomiast jeżeli dochody ludności zostaną opodatkowane punkt E' przesunie się w lewo.

Zastosowanie w geografii ludności

Krzywa Lorenza jest stosowana w geografii ludności do obrazowania nierównomierności gęstości zaludnienia w podjednostkach terenowych.

Zobacz też

• indeks Giniego