Krzywa eliptyczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Krzywa eliptyczna

Krzywa eliptyczna – pojęcie z zakresu geometrii algebraicznej, oznaczające według współczesnej definicji gładką krzywą algebraiczną (czyli rozmaitość algebraiczną wymiaru 1) o genusie równym 1 wraz z wyróżnionym punktem O, zwanym "punktem w nieskończoności". Elementy krzywej rozumianej jako zbiór nazywa się, zgodnie z terminologią geometryczną, punktami.

Dowodzi się, że każda krzywa eliptyczna jest rozmaitością abelową – można na niej zdefiniować w sensowny (zgodny z własnościami geometryczno-algebraicznymi) sposób operację grupową ("dodawanie" punktów), dla której O jest elementem neutralnym.

Można również pokazać, że każdą krzywą eliptyczną nad dowolnym ciałem K można zapisać w postaci równania

y^{2} + a_{1}xy + a_{3}y = x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{4}x + a_{6}\,

dla pewnych stałych a_{k} \in K, gdzie x, y to współrzędne punktów na płaszczyźnie K^{2}. Reprezentacja taka z reguły nie jest jednoznaczna. W szczególnych przypadkach definicję tę można znacznie uprościć. Równanie to przedstawia tzw. model afiniczny krzywej eliptycznej.

Postać normalna krzywej[edytuj | edytuj kod]

W przypadku, gdy charakterystyka ciała K jest inna, niż 2 i 3 (czyli, w szczególności, np. jeśli krzywa jest zdefiniowana nad ciałem liczb zespolonych), równanie afiniczne krzywej można uprościć do postaci

y^{2} = x^{3} + Ax +B, A,B\in K

nazywanej równaniem (postacią) Weierstrassa.

Dla ciała charakterystyki 3 najbardziej ogólną postacią równania jest

y^{2} = 4x^{3} + b_{2}x^2+2b_{4}x + b_{6}\,


Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Dzięki zastosowaniu krzywych eliptycznych udało się rozwiązać jeden z najstarszych problemów matematycznych: przeprowadzić dowód wielkiego twierdzenia Fermata. Problem ten pozostawał nierozwiązany przez ponad 300 lat, zaś jego rozwiązanie podał Wiles w roku 1993, korzystając właśnie z pojęć z zakresu krzywych eliptycznych. Dowód jednak zawierał luki, które wraz z współpracownikami Wilesowi udało się usunąć w roku 1994.

Jednym z kluczowych zastosowań krzywych eliptycznych współcześnie jest kryptografia.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy