Krzywa pogoni

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Konstrukcja prostej krzywej pogoni

Krzywa pogoni jest krzywą matematyczną, określającą tor punktu ("ścigający"), który zmierza zawsze w kierunku drugiego punktu ("ścigany"), poruszającego się po pewnej wyznaczonej krzywej.

Prosta krzywa pogoni[edytuj | edytuj kod]

Prosta krzywa pogoni określa najprostszy przypadek, w którym ścigany porusza się po prostej. Pierre Bouguer opisał ją po raz pierwszy w 1732 roku. Pierre Louis Maupertuis później rozważał także inne krzywe pogoni.

Definicja
Niech A_0 będzie punktem startowym "ściganego", a P_0 punktem startowym "ścigającego".
Niech punkt A porusza się ruchem jednostajnym z prędkością v=const w jakimś kierunku, a punkt P z prędkością w=const zawsze w kierunku punktu A. Wówczas tor punktu P to prosta krzywa pogoni.
Niech k=\tfrac{v}{w}
Krzywe pogoni dla różnych wartości parametru k
Równanie w kartezjańskim układzie współrzędnych
Niech A_0=(0,0), P_0=(1,0), A porusza się wzdłuż osi Y:
 y(x) = {1 \over 2} \left( { {1-x^{(1-k)}} \over (1-k) } -{ {1-x^{(1+k)}} \over { (1+k)} } \right) dla k\ne 1
 y(x) = {1 \over 4} \cdot \left( {x^2} -\ln {x^2} -1 \right) dla k=1\;

Wyprowadzenie[edytuj | edytuj kod]

W dowolnym momencie ścigany znajduje się na stycznej do toru ścigającego, więc

 \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =  \frac{-x}{a-y}

co prowadzi do równania różniczkowego:

 x + x'(a-y) =  0\; gdzie  x > 0

Z a = vt wynika \frac{x}{x'} + vt = y, po zróżniczkowaniu po y:

\dot y = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = \frac{v \cdot x'^2} {x \cdot x''}

Stosujemy wzór na długość łuku:

l = wt = k \int_0^y \sqrt{1+(x')^2} \mathrm{d}y

Z

\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 = w^2 \mathrm{d}t^2

wynika

\dot y = \frac{w}{\sqrt{1+x'^2}}

Podobnie wykonywane jest różniczkowanie po x:

 x'' -k \cdot \frac{x'^2}{x} \cdot \sqrt{1 +x'^2} = 0

Rozwiązanie po podstawieniu

u = y' = \frac{1}{x'}, x'' = \frac{-1}{u^3} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x},

prowadzi do

\frac{-\mathrm{d}u}{\sqrt{1+u^2}} = k \cdot \frac{\mathrm{d}x}{x}

po scałkowaniu:

\operatorname{arsinh} u = k\cdot\ln x + C

a następnie po zastosowaniu formalnej definicji sinh z C_1=e^C otrzymujemy:

 y' = \frac{\mathrm{d}y} {\mathrm{d}x} = \frac{1}{2} \left[ (C_1 \cdot x)^k - (C_1 \cdot x)^{-k} \right]

Ponownie całkujemy, ze stałą C_2. Z warunku brzegowego

\left. \tfrac{dy}{dx}\right| _{x=1}=0

wynika

C_1=1,

więc z

\left. y\right| _{x=1}=0

wynika:

C_2=\frac{k}{1-k^2} względnie C_2=-\frac{1}{4} dla k=1

czyli:

 y(x)  =  {1 \over 2}  \left( \begin{matrix} \quad \\ { x^{(1+k)} \over (1+k) } \\ \quad \end{matrix} -\left \lbrace \begin{matrix} { x^{(1-k)} \over (1-k) } \\ {\ln {|x|}} \end{matrix} \right \rbrace \right)  +\left \lbrace \begin{matrix} {k \over {1-k^2}} \\ -{1 \over 4} \end{matrix} \right \rbrace\ \begin{cases} {k \neq 1} \\ {k=1} \end{cases}

Skąd wynikają wzory podane wcześniej.

Wyrażenie zależności odwrotnej x(y) nie jest możliwe w funkcjach elementarnych.

Commons in image icon.svg

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]