Krzywa pogoni

Konstrukcja prostej krzywej pogoni

Krzywa pogoni – krzywa matematyczna, określająca tor punktu („ścigający”), który zmierza zawsze w kierunku drugiego punktu („ścigany”), poruszającego się po pewnej wyznaczonej krzywej.

Prosta krzywa pogoni

Prosta krzywa pogoni określa najprostszy przypadek, w którym ścigany porusza się po prostej. Pierre Bouguer opisał ją po raz pierwszy w 1732 roku. Pierre Louis Maupertuis później rozważał także inne krzywe pogoni.

Definicja

Niech $A_{0}$ będzie punktem startowym „ściganego”, a $P_{0}$ punktem startowym „ścigającego”.

Niech punkt $A$ porusza się ruchem jednostajnym z prędkością $v=const$ w jakimś kierunku, a punkt $P$ z prędkością $w=const$ zawsze w kierunku punktu $A$. Wówczas tor punktu $P$ to prosta krzywa pogoni.

Niech $k={\tfrac {v}{w}}$.

Krzywe pogoni dla różnych wartości parametru k

Równanie w kartezjańskim układzie współrzędnych

Niech $A_{0}=(0,0),P_{0}=(1,0)$ i $A$ porusza się wzdłuż osi $Y$:

$y(x)={1 \over 2}\left({{1-x^{(1-k)}} \over (1-k)}-{{1-x^{(1+k)}} \over {(1+k)}}\right)$ dla $k\neq 1$

$y(x)={1 \over 4}\cdot \left({x^{2}}-\ln {x^{2}}-1\right)$ dla $k=1$

Wyprowadzenie

W dowolnym momencie „ścigany” znajduje się na stycznej do toru „ścigającego”, więc:

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}={\frac {-x}{a-y}}$,

co prowadzi do równania różniczkowego:

$x+x'(a-y)=0\;$,

gdzie $x>0$.

Z $a=vt$ wynika:

${\frac {x}{x'}}+vt=y$,

po zróżniczkowaniu po $y$:

${\dot {y}}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}={\frac {v\cdot x'^{2}}{x\cdot x''}}$

Dalej stosowany jest wzór na długość łuku:

$l=wt=k\int _{0}^{y}{\sqrt {1+(x')^{2}}}\mathrm {d} y$.

Z $\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}=w^{2}\mathrm {d} t^{2}$ wynika, że:

${\dot {y}}={\frac {w}{\sqrt {1+x'^{2}}}}$

Podobnie wykonywane jest różniczkowanie po $x$:

$x''-k\cdot {\frac {x'^{2}}{x}}\cdot {\sqrt {1+x'^{2}}}=0$.

Rozwiązanie po podstawieniu

$u=y'={\frac {1}{x'}},\quad x''={\frac {-1}{u^{3}}}{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}$

prowadzi do:

${\frac {-\mathrm {d} u}{\sqrt {1+u^{2}}}}=k\cdot {\frac {\mathrm {d} x}{x}}$,

po scałkowaniu:

$\operatorname {arsinh} u=k\cdot \ln x+C$,

a następnie po zastosowaniu formalnej definicji sinh z $C_{1}=e^{C}$ otrzymuje się:

$y'={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{2}}\left[(C_{1}\cdot x)^{k}-(C_{1}\cdot x)^{-k}\right]$.

Ponownie całkuje się, ze stałą $C_{2}$. Z warunku brzegowego:

$\left.{\tfrac {dy}{dx}}\right|_{x=1}=0$

wynika $C_{1}=1$, więc z

$\left.y\right|_{x=1}=0$

wynika:

$C_{2}={\frac {k}{1-k^{2}}}$ względnie $C_{2}=-{\frac {1}{4}}$ dla $k=1$,

czyli:

$y(x)={1 \over 2}\left({\begin{matrix}\quad \\{x^{(1+k)} \over (1+k)}\\\quad \end{matrix}}-\left\lbrace {\begin{matrix}{x^{(1-k)} \over (1-k)}\\{\ln {|x|}}\end{matrix}}\right\rbrace \right)+\left\lbrace {\begin{matrix}{k \over {1-k^{2}}}\\-{1 \over 4}\end{matrix}}\right\rbrace \ {\begin{cases}{k\neq 1}\\{k=1}\end{cases}}$

skąd wynikają wzory podane na początku.

Wyrażenie zależności odwrotnej $x(y)$ nie jest możliwe w funkcjach elementarnych.

Zobacz też

• lista krzywych

Linki zewnętrzne

• Applet Javy symulujący pogoń (niem.)
• Pursuit Curve -- z MathWorld (ang.)