Krzywa regularna

Krzywa regularna – krzywa kawałkami gładka.

Definicje formalne

1. Parę uporządkowaną $\Gamma =(\gamma ,|\Gamma |),$ gdzie $\gamma \colon [\alpha ,\beta ]\to \mathbb {C} ,$ $|\Gamma |=\gamma ([\alpha ,\beta ]),$ nazywamy krzywą regularną, gdy $\gamma$ jest funkcją ciągłą oraz istnieje skończony układ punktów $\{t_{0},t_{1},\dots ,t_{n}\}$ takich, że $\alpha =t_{0}<t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=\beta$ i $\gamma |_{[t_{i-1},t_{i}]}$ ma w każdym punkcie przedziału $[t_{i-1},\ t_{i}],$ $i\in \{1,2,\dots ,n\},$ ciągłą pochodną. Punkty $\gamma (\alpha ),\gamma (\beta )$ nazywamy odpowiednio początkiem i końcem krzywej $\Gamma ,$ zbiór $|\Gamma |$ jej podkładem lub nośnikiem, a funkcję $\gamma$ parametryzacją.
2. Krzywa $L\subset \mathbb {R} ^{n}$ jest regularna wtedy i tylko wtedy, gdy

$\exists (K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})\forall i\in \{1,2,\dots ,n\}K_{i}$ jest łukiem regularnym i koniec $K_{i}$ jest identyczny z początkiem $K_{i+1}.{:}$ Jeżeli dodatkowo koniec $K_{n}$ równa się początkowi $K_{1}$ to krzywą $L$ nazywamy krzywą regularną zamkniętą.

Równoważność krzywych regularnych

Niech $\Gamma ,{\tilde {\Gamma }}$ będą krzywymi regularnymi o parametryzacjach odpowiednio $\gamma \colon [\alpha ,\beta ]\to \mathbb {C} ,$ ${\tilde {\gamma }}\colon [{\tilde {\alpha }},{\tilde {\beta }}]\to \mathbb {C} .$ Krzywe $\Gamma ,{\tilde {\Gamma }}$ są krzywymi równoważnymi, gdy istnieje surjekcja rosnąca (i tym samym ciągła) $\sigma \colon [\alpha ,\beta ]\to [{\tilde {\alpha }},{\tilde {\beta }}]$ oraz układ punktów $\alpha =t_{0}<t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=\beta ,$ taki że dla każdego $i\in \{1,2,\dots ,n\}$ funkcja $\sigma |_{[t_{i-1},t_{i}]}$ ma dodatnią ciągłą pochodną i $\gamma ={\tilde {\gamma }}\circ \sigma .$

Operacje na krzywych regularnych

Krzywa przeciwna

Niech $\Gamma$ będzie krzywą regularną o parametryzacji $\gamma \colon [\alpha ,\beta ]\to \mathbb {C} .$ Krzywą o opisie parametrycznym $\gamma _{1}$ danym wzorem $\gamma _{1}(t)=\gamma (-t)$ dla $t\in [-\beta ,-\alpha ]$ nazywamy krzywą przeciwną do $\Gamma$ i oznaczamy $-\Gamma .$

Suma krzywych

Niech $\gamma _{1}\colon [\alpha _{1},\beta _{1}]\to \mathbb {C} ,$ $\gamma _{2}\colon [\alpha _{2},\beta _{2}]\to \mathbb {C} ,$ będą odpowiednio opisami parametrycznymi krzywych $\Gamma _{1},$ $\Gamma _{2}.$ Jeśli $\gamma _{1}(\beta _{1})=\gamma _{2}(\alpha _{2}),$ to krzywą o opisie parametrycznym $\gamma$ danym wzorem

$\gamma (t)={\begin{cases}\gamma _{1}(t)&{\text{dla }}t\in [\alpha _{1},\beta _{1}]\\\gamma _{2}(t-\beta _{1}+\alpha _{2})&{\text{dla }}t\in [\beta _{1},\beta _{1}+\beta _{2}-\alpha _{2}]\end{cases}}$

nazywamy sumą tych krzywych i oznaczamy $\Gamma _{1}+\Gamma _{2}$

Przykłady

• Niech $a,b\in \mathbb {C} .$ Odcinkiem zorientowanym o początku w punkcie $a$ i końcu w punkcie $b$ nazywamy krzywą o opisie parametrycznym $\gamma$ danym wzorem $\gamma (t)=a+t(b-a),$ $t\in [0,1].$
• Dodatnio zorientowanym okręgiem o środku w punkcie $a\in \mathbb {C}$ i promieniu $r>0$ nazywamy krzywą o opisie parametrycznym $\gamma$ danym wzorem $\gamma (t)=a+r\exp(it),$ $t\in [0,2\pi ].$
• Niech dany będzie skończony ciąg punktów $z_{1},\dots ,z_{n}\in \mathbb {C} .$ Łamaną zorientowaną o początku w punkcie $z_{1}$ i końcu w punkcie $z_{n}$ nazywamy krzywą $I_{1}+\ldots +I_{n-1},$ gdzie $I_{k}$ jest odcinkiem zorientowanym o początku w $z_{k}$ i końcu w $z_{k+1}.$

Bibliografia

• Jacek Chądzyński, Wstęp do analizy zespolonej, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999, ISBN 83-01-13021-0.