Krzywizna Gaussa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Trzy powierzchnie o różnej krzywiźnie Gaussa – od lewej do prawej: hiperboloida (ujemna krzywizna Gaussa), walec (zerowa krzywizna Gaussa) oraz sfera (dodatnia krzywizna Gaussa).

Krzywizna Gaussa jest miarą zakrzywienia powierzchni M\subset\mathbb R^3 w punkcie x\in\mathbb R^3.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Krzywizną Gaussa powierzchni M\subset\mathbb R^3 w punkcie x\in\mathbb R^3 nazywamy liczbę \Kappa\! równą \Kappa=\kappa_1\kappa_2\!, gdzie \kappa_i\!krzywiznami głównymi rozważanej powierzchni M\! w punkcie x\!.

Krzywizna Gaussa może być wyliczona jako iloraz wyznaczników pierwszej i drugiej formy podstawowej powierzchni: \Kappa = \frac{det(II)}{det(I)}.

Może być również wyliczona za pomocą symboli Christoffela:

\Kappa = -\frac{1}{E} \left( \frac{\partial}{\partial u}\Gamma_{12}^2 - \frac{\partial}{\partial v}\Gamma_{11}^2 + \Gamma_{12}^1\Gamma_{11}^2 - \Gamma_{11}^1\Gamma_{12}^2 + \Gamma_{12}^2\Gamma_{12}^2 - \Gamma_{11}^2\Gamma_{22}^2\right)

Twierdzenia[edytuj | edytuj kod]