Kumulanta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Kumulanta to pojęcie z zakresu teorii prawdopodobieństwa i statystyki.

Kumulantami κn rozkładu prawdopodobieństwa nazywamy wielkości spełniające własność:

E\left(e^{tX}\right)=\exp\left(\sum_{n=1}^\infty\kappa_n t^n/n!\right)

gdzie X jest zmienną losową, dla rozkładu prawdopodobieństwa której obliczane są kumulanty. Innymi słowy,  \frac{\kappa_n}{n!} jest n-tym współczynnikiem w rozwinięciu w szereg potęgowy logarytmu funkcji generującej momenty. Logarytm funkcji generującej momenty nazywany jest funkcją generującą kumulanty.

Problem kumulant to próba uzyskania funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa z jego ciągu kumulant. W niektórych przypadkach rozwiązanie problemu nie istnieje, w niektórych istnieje dokładnie jedno rozwiązanie, w niektórych więcej niż jedno rozwiązanie.

Niektóre własności kumulant[edytuj | edytuj kod]

Niezmienniczość[edytuj | edytuj kod]

Zachodzą następujące własności:

  • \kappa_1(X + c) = \kappa_1(X) + c\,
  • \kappa_n(X + c) = \kappa_n(X)\, dla n ≥ 2

gdzie c jest stałą.

Oznacza to, że stałą dodajemy tylko do pierwszej kumulanty, wyższe kumulanty pozostają niezmienione.

Homogeniczność[edytuj | edytuj kod]

Kumulanty są homogeniczne stopnia n, to znaczy:

\kappa_n(cX) = c^n\kappa(X)\,

Addytywność[edytuj | edytuj kod]

Jeśli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, zachodzi:

\kappa_n(X + Y) = \kappa_n(X) + \kappa_n(Y)\,

Kumulanty i momenty[edytuj | edytuj kod]

Kumulanty są powiązane z momentami następującą zależnością:

\kappa_n=m_n-\sum_{k=1}^{n-1}{n-1 \choose k-1}\kappa_k m_{n-k}.

n-ty moment zwykły mn jest wielomianem n-tego stopnia w pierwszych n kumulantach, zatem:

m_1=\kappa_1\,
m_2=\kappa_2+\kappa_1^2
m_3=\kappa_3+3\kappa_2\kappa_1+\kappa_1^3
m_4
=\kappa_4+4\kappa_3\kappa_1+3\kappa_2^2+6\kappa_2\kappa_1^2+\kappa_1^4
m_5=\kappa_5+5\kappa_4\kappa_1+10\kappa_3\kappa_2
+10\kappa_3\kappa_1^2+15\kappa_2^2\kappa_1
+10\kappa_2\kappa_1^3+\kappa_1^5
m_6=\kappa_6+6\kappa_5\kappa_1+15\kappa_4\kappa_2+15\kappa_4\kappa_1^2
+10\kappa_3^2+60\kappa_3\kappa_2\kappa_1+20\kappa_3\kappa_1^3+15\kappa_2^3
+45\kappa_2^2\kappa_1^2+15\kappa_2\kappa_1^4+\kappa_1^6

Aby uzyskać wzory na zależność kumulant od momentów centralnych, należy we wszystkich wzorach opuścić składniki, gdzie κ1 występuje jako czynnik.

Kumulanty i podział zbioru[edytuj | edytuj kod]

Kumulanty mają ciekawą interpretację kombinatoryczną: współczynniki definiują określone podziały zbioru. Ogólna postać tych wielomianów to:

m_n=\sum_{\pi}\prod_{B\in\pi}\kappa_{\left|B\right|}

gdzie:

  • π przebiega przez wszystkie podziały zbioru n-elementowego
  • "B \isin \pi" jest jednym z bloków, na które zbiór jest podzielony
  • |B| jest liczebnością zbioru B

Każdy jednomian to stała pomnożona przez iloczyn kumulant, w których suma indeksów wynosi n (np. dla κ3 κ22 κ1, suma indeksów wynosi 3 + 2 + 2 + 1 = 8, pojawia się ona w wielomianie, który wyraża ósmą kumulantę za pomocą ośmiu pierwszych kumulant). Podziałowi liczby całkowitej n odpowiadają poszczególne składniki. Współczynniki w każdym składniku to liczba podziałów n-elementowego zbioru, które łączą się w podziały n kiedy elementy zbioru stają się nierozróżnialne.

Kumulanty niektórych rozkładów prawdopodobieństwa[edytuj | edytuj kod]

  • Kumulanty rozkładu normalnego o średniej μ i odchyleniu standardowym σ wynoszą κ1 = μ, κ2 = σ2 i κn = 0 dla n > 2.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]