Kwadratury Gaussa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kwadraturami Gaussa nazywamy metody całkowania numerycznego polegające na takim wyborze wag w_1, w_2, \ldots, w_n i węzłów interpolacji t_1, t_2, \ldots, t_n \in [a,b] aby wyrażenie


\sum_{i=1}^n w_i f(t_i)

najlepiej przybliżało całkę


I(f) = \int\limits_a^b w(x) f(x) dx

gdzie f jest dowolną funkcją określoną na odcinku [a,b], a w jest tzw. funkcją wagową spełniającą warunki

  1. w(x)\ge 0,
  2.  \forall_{k\in \mathbb{N}} \int\limits_a^b x^k w(x) dx jest skończona,
  3. Jeżeli p jest wielomianem takim, że \forall_{x\in [a,b]}\;p(x)\ge 0, to jeśli \int\limits_a^b w(x) p(x) dx=0, mamy wtedy p\equiv0.

Określmy iloczyn skalarny z wagą

\langle f,g \rangle_w = \int\limits_a^b w(x) f(x) g(x) dx.

Powiemy, że dwa wielomiany są ortogonalne względem tego iloczynu skalarnego jeśli \langle f,g \rangle_w =0.

Wszystkie kwadratury Gaussa wywodzą się z twierdzenia udowodnionego przez niego:

a) Jeżeli t_1, t_2, \ldots, t_n \in [a,b] są pierwiastkami n-tego wielomianu ortogonalnego p_n(x) oraz w_1, w_2, \ldots, w_n są rozwiązaniami układu równań:

\left\{
\begin{matrix}
p_0(t_1)w_1 + & \ldots & + p_0(t_n)w_n= & <p_0,p_0>_w\\
p_1(t_1)w_1 + & \ldots & + p_1(t_n)w_n= & 0\\
\vdots &  & \vdots & \vdots \\
p_{n-1}(t_1)w_1 + & \ldots & + p_{n-1}(t_n)w_n= & 0\\
\end{matrix}\right.

to dla każdego wielomianu p stopnia nie większego niż 2n-1 zachodzi


\int\limits_a^b w(x) p(x) dx = \sum_{i=1}^n w_i p(t_i).\qquad (*)

Ponadto w_i > 0.

b) Jeżeli dla pewnego ciągu węzłów x_1, x_2, \ldots, x_n \in [a,b] oraz ciągu wag v_1, v_2, \ldots, v_n dla dowolnego wielomianu p stopnia nie większego niż 2n-1 zachodzi warunek (*), to x_i=t_i oraz v_i=w_i z dokładnością do kolejności.

c) Dla dowolnego ciągu węzłów x_1, x_2, \ldots, x_n \in [a,b] oraz ciągu wag v_1, v_2, \ldots, v_n nie istnieje wielomian stopnia 2n, dla którego nie zachodzi warunek (*).

Najczęściej spotykane rodzaje kwadratur Gaussa[edytuj | edytuj kod]

Kwadratury z przedziału [-1,1] z wagą w\equiv 1 nazywamy kwadraturami Gaussa-Legendre'a


I(f)=\int\limits_{-1}^1 f(x) dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(t_i),

gdzie t_i to pierwiastki n-tego wielomianu Legendre'a.

Kwadratury z wagą w(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} nazywamy kwadraturami Gaussa-Czebyszewa


I(f)=\int\limits_{-1}^1 f(x) \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} \approx \sum_{i=1}^n w_i f(t_i),

gdzie t_i to pierwiastki n-tego wielomianu Czebyszewa.

Kwadratury z wagą w(x)=e^{-x^2} nazywamy kwadraturami Gaussa-Hermite'a


I(f)=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2} f(x) dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(t_i),

gdzie t_i to pierwiastki n-tego wielomianu Hermite'a.

Kwadratury z wagą w(x)=e^{-x} nazywamy kwadraturami Gaussa-Laguerre'a


I(f)=\int\limits_{0}^\infty e^{-x} f(x) dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(t_i),

gdzie t_i to pierwiastki n-tego wielomianu Laguerre'a.

Kwadratury z wagą w(x)=(1-x)^\alpha(1+x)^\beta nazywamy kwadraturami Gaussa-Jacobiego


I(f)=\int\limits_{-1}^1 (1-x)^\alpha(1+x)^\beta f(x) dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(t_i)
.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]