Kwadryka

Kwadryka lub powierzchnia drugiego stopnia – w matematyce powierzchnia dana równaniem drugiego stopnia ze względu na współrzędne $x,\ y,\ z\;$:

$a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12} xy+2a_{23} yz+2a_{13} zx+2a_{14} x+2a_{24} y+2a_{34} z+a_{44}=0,\qquad (1)\;$

gdzie

$a_{11},a_{22},a_{33},a_{12},a_{23},a_{13},a_{14},a_{24},a_{34},a_{44}\in \mathbb R,$

przy czym nie zachodzi

$a_{11}=a_{22}=a_{33}=a_{12}=a_{23}=a_{13}=0\;$

(przynajmniej jeden z powyższych współczynników musi być różny od zera).

W zależności od wartości współczynników $a_{ij}\;$ kwadryka może należeć do jednego z wielu typów, różniących się właściwościami.

Wykresy i równania kanoniczne

Poprzez odpowiednie przekształcenie układu współrzędnych można równanie kwadryki sprowadzić do postaci kanonicznej, charakterystycznej dla jednego z wymienionych niżej 17 typów.

W poniższych wzorach $a,b,c\in\mathbb R_+$.

elipsoida	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = 1 \,$
elipsoida obrotowa     (szczególny przypadek elipsoidy)	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} + {z^2 \over b^2} = 1 \,$
sfera         (szczególny przypadek elipsoidy obrotowej)	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} + {z^2 \over a^2} = 1 \,$
paraboloida eliptyczna	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - z = 0 \,$
paraboloida obrotowa     (szczególny przypadek paraboloidy eliptycznej)	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} - z = 0 \,$
paraboloida hiperboliczna	${x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} - z = 0 \,$
hiperboloida jednopowłokowa	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 1 \,$
hiperboloida dwupowłokowa	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = - 1 \,$
powierzchnia stożkowa	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 0 \,$
walec eliptyczny	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1 \,$
powierzchnia boczna zwykłego walca o nieskończonej wysokości     (szczególny przypadek walca eliptycznego)	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} = 1 \,$
walec hiperboliczny	${x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = 1 \,$
walec paraboliczny	$x^2 + 2ay = 0 \,$
przecinające się płaszczyzny	${x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = 0$
tzw. przecinające się płaszczyzny urojone	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 0$	prosta
równoległe płaszczyzny	$x^2=a^2\;$
nakładające się płaszczyzny	$x^2=0\;$
tzw. równoległe płaszczyzny urojone	$x^2=-a^2\;$	zbiór pusty
tzw. elipsoida urojona	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = -1 \,$	zbiór pusty
tzw. stożek urojony	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = 0 \,$	pojedynczy punkt
tzw. urojony walec eliptyczny	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = -1 \,$	zbiór pusty

Ostatnie kilka przypadków opisuje kwadryki zdegenerowane, w których dla kanonicznego układu współrzędnych znika co najmniej jedna ze współrzędnych. Niektórzy autorzy nie zaliczają ich do kwadryk. W tym sensie także walce są przypadkami zdegenerowanymi, gdyż można je przedstawić w postaci zawierającej tylko dwie współrzędne. Ponadto warto zauważyć, że niektóre z tych zdegenerowanych kwadryk nie są powierzchniami (prosta, punkt, zbiór pusty).

Postać macierzowa równania

Równanie kwadryki można też przedstawić w postaci macierzowej:

$\overrightarrow{x}^\top A \overrightarrow{x}+2\overrightarrow{a}^\top\overrightarrow{x}+a_{44}=0,$

gdzie:

$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{bmatrix}$

$\overrightarrow{a}=\begin{bmatrix} a_{14} \\ a_{24} \\ a_{34}\end{bmatrix}$

$\overrightarrow{x}=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}$

Niezmienniki

Poniższe wielkości nie zmieniają się przy zmianie początku układu współrzędnych i rotacji jego osi:

$\Delta=\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\ a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44} \end{matrix}\right|$

$\delta=\det A=\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{12} & a_{22} & a_{23}\\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{matrix}\right|$

$S=a_{11}+a_{22}+a_{33}\;$

$T=a_{22} a_{33}+ a_{33} a_{11}+ a_{11} a_{22} -a_{23}^2 -a_{13}^2 -a_{12}^2\;$

Określenie typu na podstawie współczynników

Korzystając ze znaku niezmienników można określić typ danej powierzchni danej równaniem (1) niezależnie od jej położenia w przestrzeni i wybranego układu współrzędnych.

• $\delta\ne 0\;$ tzw. powierzchnie środkowe:
  • $\Delta<0:\;$
    • $S\delta>0,\ T>0\;$ elipsoida (w szczególnym przypadku sfera)
    • $S\delta>0,\ T<0\;$ hiperboloida dwupowłokowa
    • $S\delta<0,\ T>0\;$ hiperboloida dwupowłokowa
  • $\Delta>0:\;$
    • $S\delta>0,\ T>0\;$ zbiór pusty (tzw. elipsoida urojona)
    • $S\delta>0,\ T<0\;$ hiperboloida jednopowłokowa
    • $S\delta<0,\ T>0\;$ hiperboloida jednopowłokowa
  • $\Delta=0:\;$
    • $S\delta>0,\ T>0\;$ pojedynczy punkt (tzw. stożek urojony)
    • $S\delta>0,\ T<0\;$ powierzchnia stożkowa
    • $S\delta<0,\ T>0\;$ powierzchnia stożkowa
• $\delta=0:\;$
  • $\Delta\ne 0\;$ paraboloidy:
    • $\Delta<0 \Leftrightarrow T>0\;$ paraboloida eliptyczna (w szczególnym przypadku paraboloida obrotowa)
    • $\Delta>0 \Leftrightarrow T<0\;$ paraboloida hiperboliczna
  • $\Delta=0:\;$:
    • $\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{12} & a_{22} & a_{24}\\ a_{14} & a_{24} & a_{44} \end{matrix}\right| + \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} & a_{14}\\ a_{13} & a_{33} & a_{34}\\ a_{14} & a_{34} & a_{44} \end{matrix}\right| + \left| \begin{matrix} a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{23} & a_{33} & a_{34}\\ a_{24} & a_{34} & a_{44} \end{matrix}\right| =0$
      przypadek zdegenerowany (suma dwóch płaszczyzn, jedna płaszczyzna, prosta lub zbiór pusty)
    • w przeciwnym wypadku powierzchnia walcowa oparta na krzywej stożkowej:
      • $T>0\;$ walec eliptyczny rzeczywisty lub urojony
      • $T<0\;$ walec hiperboliczny
      • $T=0\;$ walec paraboliczny

Linki zewnętrzne

• Interaktywne aplety Javy rysujące różne rodzaje kwadryk(ang.)

Bibliografia

• I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – Poradnik encyklopedyczny. Wyd. 6. Warszawa: PWN, 1976, s. 299-301.