Kwadryka

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Kwadryka lub powierzchnia drugiego stopnia – w matematyce powierzchnia dana równaniem drugiego stopnia ze względu na współrzędne x,\ y,\ z\;:

a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12} xy+2a_{23} yz+2a_{13} zx+2a_{14} x+2a_{24} y+2a_{34} z+a_{44}=0,\qquad (1)\;

gdzie

a_{11},a_{22},a_{33},a_{12},a_{23},a_{13},a_{14},a_{24},a_{34},a_{44}\in \mathbb R,

przy czym nie zachodzi

a_{11}=a_{22}=a_{33}=a_{12}=a_{23}=a_{13}=0\;

(przynajmniej jeden z powyższych współczynników musi być różny od zera).

W zależności od wartości współczynników a_{ij}\; kwadryka może należeć do jednego z wielu typów, różniących się właściwościami.

Wykresy i równania kanoniczne[edytuj | edytuj kod]

Poprzez odpowiednie przekształcenie układu współrzędnych można równanie kwadryki sprowadzić do postaci kanonicznej, charakterystycznej dla jednego z wymienionych niżej 17 typów.

W poniższych wzorach a,b,c\in\mathbb R_+.

elipsoida {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = 1 \, Quadric Ellipsoid.jpg
    elipsoida obrotowa
    (szczególny przypadek elipsoidy)  
{x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} + {z^2 \over b^2} = 1 \,
        sfera
        (szczególny przypadek elipsoidy obrotowej)
{x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} + {z^2 \over a^2} = 1 \,
paraboloida eliptyczna {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - z = 0 \, Quadric Elliptic Paraboloid.jpg
    paraboloida obrotowa
    (szczególny przypadek paraboloidy eliptycznej)
{x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} - z = 0  \,
paraboloida hiperboliczna {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} - z = 0  \, Quadric Hyperbolic Paraboloid.jpg
hiperboloida jednopowłokowa {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 1 \, Quadric Hyperboloid 1.jpg
hiperboloida dwupowłokowa {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = - 1 \, Quadric Hyperboloid 2.jpg
powierzchnia stożkowa {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 0 \, Quadric Cone.jpg
walec eliptyczny {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1 \, Quadric Elliptic Cylinder.jpg
    powierzchnia boczna zwykłego walca o nieskończonej wysokości
    (szczególny przypadek walca eliptycznego)
{x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} = 1  \,
walec hiperboliczny {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = 1 \, Quadric Hyperbolic Cylinder.jpg
walec paraboliczny x^2 + 2ay = 0 \, Quadric Parabolic Cylinder.jpg
przecinające się płaszczyzny {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = 0
tzw. przecinające się płaszczyzny urojone {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 0 prosta
równoległe płaszczyzny x^2=a^2\;
nakładające się płaszczyzny x^2=0\;
tzw. równoległe płaszczyzny urojone x^2=-a^2\; zbiór pusty
tzw. elipsoida urojona {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = -1 \, zbiór pusty
tzw. stożek urojony {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = 0 \, pojedynczy punkt
tzw. urojony walec eliptyczny {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = -1 \, zbiór pusty

Ostatnie kilka przypadków opisuje kwadryki zdegenerowane, w których dla kanonicznego układu współrzędnych znika co najmniej jedna ze współrzędnych. Niektórzy autorzy nie zaliczają ich do kwadryk. W tym sensie także walce są przypadkami zdegenerowanymi, gdyż można je przedstawić w postaci zawierającej tylko dwie współrzędne. Ponadto warto zauważyć, że niektóre z tych zdegenerowanych kwadryk nie są powierzchniami (prosta, punkt, zbiór pusty).

Postać macierzowa równania[edytuj | edytuj kod]

Równanie kwadryki można też przedstawić w postaci macierzowej:

\overrightarrow{x}^\top A \overrightarrow{x}+2\overrightarrow{a}^\top\overrightarrow{x}+a_{44}=0,

gdzie:

A=\begin{bmatrix} 
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33}
\end{bmatrix}
\overrightarrow{a}=\begin{bmatrix} a_{14} \\ a_{24} \\ a_{34}\end{bmatrix}
\overrightarrow{x}=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}

Niezmienniki[edytuj | edytuj kod]

Poniższe wielkości nie zmieniają się przy zmianie początku układu współrzędnych i rotacji jego osi:

\Delta=\left| \begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\
a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}
\end{matrix}\right|
\delta=\det A=\left| \begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{12} & a_{22} & a_{23}\\
a_{13} & a_{23} & a_{33}
\end{matrix}\right|
S=a_{11}+a_{22}+a_{33}\;
T=a_{22} a_{33}+ a_{33} a_{11}+ a_{11} a_{22} -a_{23}^2 -a_{13}^2 -a_{12}^2\;

Określenie typu na podstawie współczynników[edytuj | edytuj kod]

Korzystając ze znaku niezmienników można określić typ danej powierzchni danej równaniem (1) niezależnie od jej położenia w przestrzeni i wybranego układu współrzędnych.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – Poradnik encyklopedyczny. Wyd. 6. Warszawa: PWN, 1976, s. 299-301.