Kwantowanie (fizyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kwantowanie, kwantyzacja — konstrukcja pozwalająca na przejście z klasycznej teorii pola do kwantowej teorii pola. Kwantowanie jest uogólnieniem konstrukcji stosowanej przy przejściu z mechaniki klasycznej do mechaniki kwantowej.

W bardziej popularnym znaczeniu przez kwantowanie rozumie się fakt istnienia skończonego lub przeliczalnego zbioru dopuszczalnych wartości danej wielkości. Na przykład mówiąc, że energia elektronu w atomie jest skwantowana rozumie się przez to, że możliwe do zaobserwowania są tylko określone jej wartości, zwane w tym przypadku poziomami energetycznymi.

Metody kwantowania[edytuj | edytuj kod]

Kwantowanie kanoniczne[edytuj | edytuj kod]

W mechanice klasycznej układ opisywany jest przez funkcję Hamiltona (hamiltonian będący funkcją położeń uogólnionych q_i i pędów uogólnionych p_i - zmiennych kanonicznych). W formalizmie kanonicznym wprowadza się nawiasy Poissona definiowane jako

 \lbrace A,B \rbrace = \sum _{i=1}  \Big ( {{\partial A} \over {\partial q_i}} {{\partial B} \over {\partial p_i}} 
- {{\partial A} \over {\partial p_i}} {{\partial B} \over {\partial q_i}}  \Big ) .

Zgodnie z definicją nawiasy Poissona dla zmiennych kanonicznych wynoszą odpowiednio (k i l indeksują zmienne kanoniczne)

\ \lbrace q_l,q_k \rbrace =0
\ \lbrace p_l,p_k \rbrace =0
\ \lbrace q_l,p_k \rbrace =\delta_{lk}


Kwantowanie kanoniczne polega na zmianie zmiennych kanonicznych na operatory oraz nawiasów Poissona na komutatory

 \lbrace\, .\,,\,.\, \rbrace \longrightarrow \frac{1}{i \hslash}[\,.\,,\,.\,]

czyli

 \hat H = H(\hat q, \hat p, t)
 [\hat q_l,\hat q_k ]=0
 [\hat p_l,\hat p_k ]=0
 [\hat q_l,\hat p_k ]=i \hslash\delta_{lk}

Popularnym sposobem kwantyzacji jest wprowadzenie funkcji falowej. Korzysta się z faktu, że na przestrzeni funkcji \Psi(q) można wprowadzić operatory

\hat q_i\Psi(q) = q_i\Psi(q)
\hat p_i\Psi(q) = -i \hslash \frac{\partial \Psi(q)}{\partial q_i}

spełniające odpowiednie reguły komutacyjne. W ten sposób problem znalezienia stanów własnych pewnych operatorów sprowadza się do rozwiązania odpowiedniego równania różniczkowego.

Przykład nierelatywistycznej cząstki swobodnej[edytuj | edytuj kod]

Klasyczny hamiltonian opisujący taką cząstkę ma postać H = \frac{1}{2m}{\vec p}^{\,2}. Odpowiadający mu kwantowy operator to \hat H = -\frac{\hslash^2}{2m}\Delta . Szukając stanu kwantowego o ustalonej wartości energii rozwiązujemy równanie

-\frac{\hslash^2}{2m}\Delta\Psi(\vec x) = E\Psi(\vec x)

Możliwe jest jednoczesne żądanie ustalonej wartości pędu:

-i\hslash\vec\nabla\Psi(\vec x) = \vec k\Psi(\vec x)

Rozwiązując te równania znajdujemy

 \Psi(\vec x) = N e^{\frac{i\vec k\cdot\vec x}{\hslash}}
 E = \frac{1}{2m}{\vec k}^{\, 2}

W tym przypadku kwantowy związek między energią i pędem jest taki sam jak klasyczny.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]


Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Weinberg Steven, Teoria pól kwantowych (Wydawnictwo Naukowe PWN, 2001)