Kwantowy rotator sztywny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rotator sztywny – jest to model w mechanice kwantowej, gdzie występuje układ dwóch cząstek, związanych ze sobą. Może on się obracać w przestrzeni, podczas gdy odległość pomiędzy cząstkami się nie zmienia.

Układ cząstek w rotatorze[edytuj | edytuj kod]

Dla mechaniki kwantowej ruch translacyjny nie jest interesujący, zatem rozpatruje się tylko ruch cząstek w układzie środka mas. Dzięki temu można wprowadzić tzw. masę zredukowaną, w której energia kinetyczna ruchu dwóch cząstek o masach m1 i m2 równa się energii kinetycznej jednej cząstki o masie μ:

 \frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}

gdzie

μ – masa zredukowana,
m1, m2 – masy składników.

Dla takiego układu równanie Schrödingera ma postać:
[ - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V] \psi = E \psi

gdzie \nabla^2 = \Delta – to laplasjan

Rotator sztywny to typowy układ, gdzie występują więzy. Ruch musi być ograniczony do takiego, by nie naruszyć odległości pomiędzy cząstkami. Dobrze jest wówczas wprowadzić współrzędne sferyczne:

x=x(r,\theta,\phi)=r \sin\theta \cos\phi\,
y=y(r,\theta,\phi)=r \sin\theta \sin\phi\,
z=z(r,\theta,\phi)=r \cos\theta\,

gdzie:
r – długość wektora
\theta – kąt azymutalny
\phi – kąt biegunowy

Wówczas element objętości przyjmuje postać:
dV = r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi

We współrzędnych sferycznych operator Laplace'a ma postać:


\Delta=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)
+\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right)
+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}\right)

a operator Hamiltona ma postać:
    \hat H =- \frac{\hbar^2}{2I} \left [ {1 \over \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left ( \sin \theta {\partial \over \partial \theta} \right ) + {1 \over {\sin^2 \theta}} {\partial^2 \over \partial \varphi^2} \right]
gdzie
I = \mu R^2 – oznacza moment bezwładności

Energia całkowita rotatora klasycznego jest równa energii kinetycznej. Oznaczając przez Y jego funkcje własne, można napisać równanie Schrödingera:
- \frac{\hbar^2}{2I} \left [ {1 \over \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left ( \sin \theta {\partial \over \partial \theta} \right ) + {1 \over {\sin^2 \theta}} {\partial^2 \over \partial \varphi^2} \right] Y = EY

Można je zapisać również w postaci:
{1 \over \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left ( \sin \theta {\partial Y \over \partial \theta} \right ) + {1 \over {\sin^2 \theta}} {\partial^2 Y \over \partial \varphi^2} Y = \lambda Y
gdzie:
 {\lambda} = {{2IE} \over {\hbar^2}}

Rozwiązanie[edytuj | edytuj kod]

Aby rozwiązać równanie Schrödingera, można przedstawić funkcję Y w postaci:
 Y (\theta, \phi) = \Theta (\theta) \Phi (\phi)
Poprzez podstawienie tego iloczynu do równania Schrödingera, pomnożeniu przez sin2θ/ΘΦi po prostych przekształceniach, otrzymamy:
{\sin \theta \over \Theta} {\partial \over \partial \theta} \left ( \sin \theta {\partial \Theta \over \partial \theta} \right ) + \lambda {\sin^2 \theta} = -{1 \over \Phi} {\partial^2 \Theta \over \partial \varphi^2}

Lewa strona tego równania zależy wyłącznie od zmiennej kąta azymutalnego, natomiast prawa tylko od kąta biegunowego. Zatem obie strony muszą być równe pewnej stałej M. Dzięki temu rozwiązaniem tego równania jest funkcja:
 \Phi_M (\varphi) = {1 \over \sqrt{2 \pi}} e^{iM \varphi},\quad M = 0, \pm 1, \pm 2...
Funkcja \Phi_M musi być funkcją jednoznaczną. Sens fizyczny rozwiązania tego równania przedstawia funkcja:
\lambda = J(J+1)
z której można otrzymać wyrażenie na energię:
E_J = {\hbar^2 \over 2I} J(J+1)
Zatem energia zależy od kwantowej liczby rotacji J. Dzięki temu można przedstawić rozwiązanie równania Schrödingera w ostatecznej postaci:
 Y^{M}_{J} (\theta, \varphi) = {1 \over \sqrt{2 \pi}} N_{J, |M|} P^{|M|}_{J} (\cos \theta) e^{iM \varphi}
gdzie
N_{J, |M|} = [{{2J+1} \over 2} {{(J+|M|!)} \over {(J-|M|!)}}]^{1 \over 2} – czynnik normalizacji
P^{m}_{l}(x) = (1-x^{2})^{m/2}\frac{d^{m}}{dx^{m}}P_{l}(x)stowarzyszony wielomian Legendre'a

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]