Kwantyfikator ogólny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Kwantyfikator ogólny to kwantyfikator mówiący, że dane twierdzenie (funkcja zdaniowa) jest prawdziwe przy dowolnej wartości zmiennej.

Istnieją dwie formy zapisu kwantyfikatora ogólnego:

\forall x : \phi(x) (odwrócona litera A; zapis ten jest związany z angielską formą „for all”)

oraz:

\bigwedge _ x \phi(x).

Co czyta się „dla każdego x zachodzi \phi(x)”. Używa się też uproszczonej notacji wyrażenia „dla każdego x należącego do zbioru \mathbb A zachodzi \phi(x)”. Mianowicie, zamiast:

\forall x : (x \in \mathbb A \implies \phi(x))
\bigwedge _ x (x \in \mathbb A \implies \phi(x))

można napisać:

\forall x \in \mathbb A : \phi(x)
\bigwedge _ {x \in \mathbb A} \phi(x).


Jeżeli X=\{x_0,x_1,\cdots ,x_n\} stanowi podzbiór (niekoniecznie właściwy) argumentów \!\phi (x) to:


\forall x \in \mathbb X : \phi(x) \equiv \phi(x_0) \and \phi(x_1) \and \cdots \and  \phi(x_n)


Zanegowany kwantyfikator ogólny staje się kwantyfikatorem egzystencjalnym i na odwrót:

\neg \forall x : \phi(x) \equiv \exists x : \neg \phi(x)
\neg \exists x : \phi(x) \equiv \forall x : \neg \phi(x).

Generalnie, jeśli coś zachodzi „dla każdego x”, to istnieje takie x, że to zachodzi. Mamy więc implikację:

\forall x : \phi(x) \implies \exists x : \phi(x).

Wyjątkiem są uniwersa puste, w których nie istnieje żaden obiekt. W takim wypadku dla każdego x zachodzi cokolwiek - z fałszem włącznie - bo nie możemy przecież znaleźć żadnego x, dla którego można by wykazać sprzeczność. Z tego powodu zwykle z góry wyklucza się uniwersa puste i zakłada się, że „coś istnieje”. Badaniem struktur z pustymi uniwersami zajmuje się logika wolna.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]