Lagranżjan

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Lagranżjan (L, inaczej funkcja Lagrange’a) – gęstość funkcjonału działania S charakteryzującego właściwości mechaniczne układu fizycznego.

Ruch układu w mechanice klasycznej opisywany jest za pomocą trajektorii q(t) podającej zależność położenia q od czasu t (q należy rozumieć jako współrzędne wektora położenia w przestrzeni konfiguracyjnej układu). Zgodnie z zasadą najmniejszego działania ruch układu mechanicznego przebiega w taki sposób, aby pewien funkcjonał (operator na przestrzeni dopuszczalnych funkcji q(t)) S przyjmował najmniejszą możliwą wartość (ściślej: wartość stacjonarną, czyli aby nie zmieniał się przy nieskończenie małej zmianie toru, tak jak nie zmienia się w minimum). Funkcjonał ten – nazywany działaniem i oznaczany zwykle przez S – ma postać całki, zaś całkowanie przebiega po czasie:

S[q] = \int\limits_{t_0}^{t_1} L(q(t),\dot{q}(t), t) dt

We wzorze tym  L(q(t),\dot{q}(t), t) to lagranżjan, a \dot{q} oznacza pochodną q po czasie.

Lagranżjan w nierelatywistycznej mechanice klasycznej zdefiniowany jest wzorem:

 L(q(t),\dot{q}(t), t) = T(q(t),\dot{q}(t), t) - U(q(t),\dot{q}(t), t)

gdzie T – energia kinetyczna, zaś U – uogólniona energia potencjalna.

Lagranżjan występuje też w teorii pola. Jest w niej całką po całej przestrzeni z gęstości lagranżjanu \mathcal{L} (często nazywanej nieściśle lagranżjanem):

L = \int d^3 x \mathcal{L}(\varphi(x), \partial_\mu \varphi(x), x)

gdzie

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]