Lagranżjan

Lagranżjan (L, inaczej funkcja Lagrange’a) – gęstość funkcjonału działania S charakteryzującego właściwości mechaniczne układu fizycznego.

Ruch układu w mechanice klasycznej opisywany jest za pomocą trajektorii q(t) podającej zależność położenia q od czasu t (q należy rozumieć jako współrzędne wektora położenia w przestrzeni konfiguracyjnej układu). Zgodnie z zasadą najmniejszego działania ruch układu mechanicznego przebiega w taki sposób, aby pewien funkcjonał (operator na przestrzeni dopuszczalnych funkcji q(t)) S przyjmował najmniejszą możliwą wartość. Funkcjonał ten – nazywany działaniem i oznaczany zwykle przez S – ma postać całki, zaś całkowanie przebiega po czasie:

$S[q] = \int\limits_{t_0}^{t_1} L(q(t),\dot{q}(t), t) dt$

We wzorze tym $L(q(t),\dot{q}(t), t)$ to lagranżjan, a $\dot{q}$ oznacza pochodną $q$ po czasie.

Lagranżjan w nierelatywistycznej mechanice klasycznej zdefiniowany jest wzorem:

$L(q(t),\dot{q}(t), t) = T(q(t),\dot{q}(t), t) - U(q(t),\dot{q}(t), t)$

gdzie T – energia kinetyczna, zaś U – uogólniona energia potencjalna.

Lagranżjan występuje też w teorii pola. Jest w niej całką po całej przestrzeni z gęstości lagranżjanu $\mathcal{L}$ (często nazywanej nieściśle lagranżjanem):

$L = \int d^3 x \mathcal{L}(\varphi(x), \partial_\mu \varphi(x), x)$

gdzie

• $x = (x^0, \vec x)$ to czterowektor położenia
• $\varphi(x)$ to wartość pola w punkcie czasoprzestrzeni $x$
• $\int d^3 x \equiv \int_{-\infty}^{+\infty} dx^1 \int_{-\infty}^{+\infty} dx^2 \int_{-\infty}^{+\infty} dx^3$
• $\partial_\mu \varphi = \left (\frac{\partial \varphi}{\partial x^0}, \frac{\partial \varphi}{\partial x^1}, \frac{\partial \varphi}{\partial x^2}, \frac{\partial \varphi}{\partial x^3} \right)$ to czterowektor kowariantny pochodnych cząstkowych pola

Zobacz też

• równania Eulera-Lagrange’a
• mnożniki Lagrange’a
• hamiltonian
• grawitacyjna całka działania