Operator Laplace'a

Operator Laplace'a (laplasjan) – operator różniczkowy drugiego rzędu, szczególnie ważny element klasy operatorów eliptycznych. Jego nazwa pochodzi od nazwiska Pierre'a Simona de Laplace'a.

Znajduje on wiele zastosowań w modelach fizycznych, pojawiając się na przykład w równaniu przewodnictwa cieplnego, propagacji fal, równaniu Helmholtza. W mechanice kwantowej występuje jako część hamiltonianu oraz jako przestrzenna składowa operatora d'Alemberta. W probabilistyce laplasjan jest generatorem ruchu Browna. Operator ten w działaniu na funkcję skalarną f można zdefiniować za pomocą operatorów gradientu i dywergencji w tej kolejności

$\triangle f = \operatorname{div}\ \overline{\operatorname{grad}}\ f$

a w działaniu na funkcję wektorową $\bar{F}$ w jego definicji występuje dodatkowo operator rotacji

$\triangle \bar{F} = \overline{\operatorname{grad}}\ \operatorname{div}\ \bar{F} - \overline{\operatorname{rot}}\ \overline{\operatorname{rot}}\ \bar{F}$

Dla funkcji skalarnej operator Laplace'a w układzie kartezjańskim ma postać:

$\triangle = \nabla^2 = \frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}} + ...+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{n}^{2}}$

a w dowolnym n-wymiarowym krzywoliniowym układzie współrzędnych:

$\triangle = \frac{1}{h_{1}...h_{n}} \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial}{\partial q_{i}}\frac{h_{1}...h_{n}}{h_{i}^{2}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}\right)$

gdzie:

q_i - i-ta współrzędna

h_i - współczynniki Lamego, h_i = ( g_ii )^1/2

g_ii to diagonalne wyrazy tensora metrycznego.

Wzór ten dla n=3 w sferycznym układzie współrzędnych przyjmuje postać:

$\triangle=\frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial}{\partial r}r^2\frac{\partial}{\partial r} +\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta} +\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \right) = \frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}r +\frac{1}{r^2}\left(\operatorname{ctg}\theta\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} +\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \right)$

Wyprowadzenie
Współrzędne sferyczne (r,φ,θ) są związane z współrzędnymi kartezjańskimi za pomocą związków:

$\left \{ \begin{matrix} x = r\sin \theta \cos \varphi \\ y = r\sin \theta \sin \varphi \\ z = r\cos \theta \end{matrix} \right .$

Obliczając z definicji tensor metryczny otrzymujemy:

$g_{ij} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^{2} & 0 \\ 0 & 0 & r^{2} \sin^{2} \theta \end{bmatrix}$

Zatem współczynniki Lamego są następujące:

$\left \{ \begin{matrix} h_1 = 1 \\ h_2 = r \\ h_3 = r \sin \theta \end{matrix} \right .$

Wstawiając teraz otrzymane współczynniki do wzoru na laplasjan w dowolnym, n-wymiarowym, krzywoliniowym układzie współrzędnych dla n = 3, oraz różniczkując otrzymujemy szukany wzór:

$\triangle=\frac{1}{r^2 \sin \theta}\left(\frac{\partial}{\partial r}r^2 \sin \theta \frac{\partial}{\partial r} +\frac{\partial}{\partial \theta} \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta} +\frac{\partial}{\partial \varphi}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi} \right) = \frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}r +\frac{1}{r^2}\left(\operatorname{ctg}\theta\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} +\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \right)$

Analogiczne rozważanie dla układu współrzędnych walcowych prowadzi do wzoru:

$\Delta = {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho} \left( \rho {\partial \over \partial \rho} \right) + {1 \over \rho^2} {\partial^2 \over \partial \varphi^2} + {\partial^2 \over \partial z^2 }.$

Dla funkcji wektorowej $\bar{F}$ działanie operatora Laplace'a w układzie kartezjańskim wyraża się przez zdefiniowany wyżej operator Laplace'a skalarnych współrzędnych tej funkcji wektorowej:

$\triangle \bar{F} = \sum _{k=1} ^{n}(\triangle F_{k} ) \hat{e}_{k}$

a w innych układach współrzędnych jego działanie wyraża się bardziej złożonym wzorem.

Zobacz też

• zagadnienie własne dla operatora Laplace'a