Lemat Fatou

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Pierre Fatou

Lemat Fatoulemat w analizie i teorii miary podający ograniczenie górne na wartość całki funkcji określonej jako granica dolna pewnego ciągu nieujemnych funkcji mierzalnych.

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka, Pierre'a Fatou.

Lemat[edytuj | edytuj kod]

  • Załóżmy że:
(a) (X,\mathcal{F},\mu) jest przestrzenią mierzalną z miarą,
(b) f_n\colon X\longrightarrow [0,\infty] jest nieujemną funkcją całkowalną dla każdej liczby naturalnej n,
(c) \liminf\limits_{n \to \infty} \int_X f_n\ d\mu<\infty,
(d) funkcja f\colon X\to {\mathbb R}\cup\{\infty\} jest zdefiniowana przez
f(x)=\liminf\limits_{n \to \infty} f_n(x) dla x\in X.
Wówczas funkcja f jest całkowalna oraz
\int_X f\ d\mu\leqslant \liminf\limits_{n \to \infty} \int_X f_n\ d\mu.
  • Czasami powyższy lemat formułuje się przy założeniu że funkcje f_n są jedynie mierzalne oraz bez zakładania warunku (c), a z tezą postulującą jedynie mierzalność funkcji f i nierówność
\int_X f\ d\mu\leqslant \liminf\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu.

Dla mierzalnej nieujemnej funkcji g, niecałkowalność jest równoważna ze stwierdzeniem że

\int_X g\ d\mu=\infty.

Szkic dowodu w oparciu o twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że są spełnione warunki (a)-(d). Dla liczby naturalnej k i punktu x przestrzeni X, niech

g_k(x)=\inf\{f_\ell(x)\colon \ell\geqslant k\}.

Powyższy wzór definiuje funkcję gk: X → [0, ∞]. Funkcja g_k jest nieujemną funkcją mierzalną oraz

g_k\leqslant f_k\

dla wszystkich k. Wobec całkowalności funkcji f_k można stwierdzić, że g_k jest całkowalna oraz

\int_X g_k\ d\mu\leqslant \int_X f_k\ d\mu.

Ponadto,

g_k\leqslant g_{k+1}

dla każdego k oraz

\lim\limits_{k\to\infty} g_k(x)=\liminf\limits_{n\to\infty}f_n(x)=f(x) dla wszystkich x\in X.

Na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej możemy teraz stwierdzić, że funkcja f jest całkowalna oraz

\int_X f\ d\mu = \lim\limits_{k \to \infty} \int_X g_k\ d\mu.

Ponieważ

\int_X g_k\ d\mu\leqslant \int_X f_k\ d\mu

dla każdego k, to również

\lim\limits_{k \to \infty} \int_X g_k\ d\mu\leqslant \liminf\limits_{k \to \infty} \int_X f_k\ d\mu,

co kończy dowód.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]