Lemat Jordana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Lemat Jordana jest twierdzeniem analizy zespolonej często używanym w połączeniu z twierdzeniem o residuach do obliczania całek krzywoliniowych oraz całek niewłaściwych. Twierdzenie nosi nazwisko francuskiego matematyka Camille'a Jordana.

Sformułowanie[edytuj | edytuj kod]

Dana jest funkcja holomorficzna określona w górnej półpłaszczyźnie oraz ciągła (na półpłaszczyźnie włącznie z osią rzeczywistą) postaci

f(z)=e^{iaz} g(z)\,,\ a>0.

Lemat Jordana mówi, że jeżeli zachodzi warunek

\quad \lim_{R \to \infty} \max_{z \in C_R} \left|g(z)\right| = 0

gdzie

C_R=\{z : z=R e^{i \theta}, \theta\in [0,\pi]\}\,,\ R>0

(droga po górnym półokręgu o środku w zerze i promieniu R), to

\lim_{R \to \infty} \int \limits_{C_R} f(z)\, dz = 0.

Analogiczne twierdzenie zachodzi dla dolnej półpłaszczyzny gdy przyjmiemy a<0.