Lemat Kuratowskiego-Zorna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Lemat Kuratowskiego-Zornatwierdzenie teorii mnogości, nazywane zwyczajowo lematem, dające pewien warunek dostateczny istnienia elementu maksymalnego w danym zbiorze częściowo uporządkowanym; znajduje ono wiele zastosowań w pozostałych działach matematyki, gdzie wykorzystywane jest w dowodach istnienia różnych obiektów (gdy szukany element, którego istnienie jest postulowane, jest maksymalnym w pewnym zbiorze z częściowym porządkiem).

Lemat ten został sformułowany przez Kazimierza Kuratowskiego w 1922 roku oraz niezależnie przez Maxa Zorna w 1935 roku; na świecie wynik ten jest znany jako lemat Zorna, jedynie w Polsce i Rosji nazywany jest lematem Kuratowskiego-Zorna. Jest on równoważny aksjomatowi wyboru – każdy z nich można udowodnić przy pomocy drugiego (z użyciem aksjomatów Zermelo-Fraenkela teorii mnogości) – przy czym jest to jedna z bardziej użytecznych jego postaci (zob. pozostałe). Istnieją również dowody wykorzystujące równoważniki aksjomatu wyboru, np. twierdzenie Zermelo, czy twierdzenie Hausdorffa o łańcuchu maksymalnym.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Zbiór \scriptstyle P nazywa się częściowo uporządkowanym przez (dwuargumentową) relację \scriptstyle \preccurlyeq (tzw. częściowy porządek), jeśli jest ona zwrotna (\scriptstyle x \preccurlyeq x), antysymetryczna (\scriptstyle x \preccurlyeq y oraz \scriptstyle y \preccurlyeq x pociągają \scriptstyle x = y) i przechodnia (\scriptstyle x \preccurlyeq y oraz \scriptstyle y \preccurlyeq z pociągają \scriptstyle x \preccurlyeq z); jeśli \scriptstyle x \preccurlyeq y, to element \scriptstyle y nazywa się późniejszym od \scriptstyle x (a element \scriptstyle x nazywa się wcześniejszym od \scriptstyle y).

Podzbiór \scriptstyle C zbioru \scriptstyle P nazywa się liniowo uporządkowanym, jeżeli dowolne jego dwa elementy można porównać za pomocą relacji \scriptstyle \preccurlyeq; zbiór \scriptstyle C nazywa się wtedy łańcuchem w \scriptstyle P. Element \scriptstyle u \in P nazywa się ograniczeniem górnym łańcucha \scriptstyle C, jeśli element \scriptstyle u jest późniejszy od jakiegokolwiek innego elementu tego łańcucha.

Zbiór częściowo uporządkowany, w którym każdy łańcuch ma ograniczenie górne, nazywa się łańcuchowo zupełnym; element \scriptstyle m nazywa się maksymalnym w zbiorze \scriptstyle P, jeśli \scriptstyle m \preccurlyeq x pociąga \scriptstyle x = m dla dowolnego \scriptstyle x \in P.

Twierdzenie Kuratowskiego-Zorna
W dowolnym niepustym zbiorze łańcuchowo zupełnym istnieje (co najmniej jeden) element maksymalny.
Wniosek
W dowolnej niepustej rodzinie zbiorów częściowo uporządkowanej relacją zawierania, do której należy suma każdego jej niepustego łańcucha, istnieje element maksymalny[1].

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Krzysztof Ciesielski, Set Theory for the Working Mathematician. Cambridge University Press, 1997. ISBN 0-521-59465-0

Przypisy

  1. Jeśli \scriptstyle \mathcal L jest łańcuchem w rodzinie \scriptstyle \mathcal S jak w założeniu, to \scriptstyle \bigcup \mathcal L zawiera każdy ze zbiorów tego łańcucha; stąd jeśli \scriptstyle \bigcup \mathcal L \in \mathcal S, to zbiór ten jest ograniczeniem górnym łańcucha \scriptstyle \mathcal L w \scriptstyle \mathcal S. W ten sposób spełnione są założenia lematu Kuratowskiego-Zorna: ograniczeniem górnym dowolnego niepustego łańcucha \scriptstyle \mathcal S jest jego suma, zaś pustego – przez dowolny element \scriptstyle \mathcal S, czyli w rodzinie \scriptstyle \mathcal S istnieje element maksymalny.