Lemat Kuratowskiego-Zorna

Lemat Kuratowskiego-Zorna – twierdzenie teorii mnogości, nazywane zwyczajowo lematem, dające pewien warunek dostateczny istnienia elementu maksymalnego w danym zbiorze częściowo uporządkowanym; znajduje ono wiele zastosowań w pozostałych działach matematyki, gdzie wykorzystywane jest w dowodach istnienia różnych obiektów (gdy szukany element, którego istnienie jest postulowane, jest maksymalnym w pewnym zbiorze z częściowym porządkiem).

Lemat ten został sformułowany przez Kazimierza Kuratowskiego w 1922 roku oraz niezależnie przez Maxa Zorna w 1935 roku; na świecie wynik ten jest znany jako lemat Zorna, jedynie w Polsce i Rosji nazywany jest lematem Kuratowskiego-Zorna. Jest on równoważny aksjomatowi wyboru – każdy z nich można udowodnić przy pomocy drugiego (z użyciem aksjomatów Zermelo-Fraenkela teorii mnogości) – przy czym jest to jedna z bardziej użytecznych jego postaci (zob. pozostałe). Istnieją również dowody wykorzystujące równoważniki aksjomatu wyboru, np. twierdzenie Zermelo, czy twierdzenie Hausdorffa o łańcuchu maksymalnym.

Twierdzenie

Zbiór $\scriptstyle P$ nazywa się częściowo uporządkowanym przez (dwuargumentową) relację $\scriptstyle \preccurlyeq$ (tzw. częściowy porządek), jeśli jest ona zwrotna ($\scriptstyle x \preccurlyeq x$), antysymetryczna ($\scriptstyle x \preccurlyeq y$ oraz $\scriptstyle y \preccurlyeq x$ pociągają $\scriptstyle x = y$) i przechodnia ($\scriptstyle x \preccurlyeq y$ oraz $\scriptstyle y \preccurlyeq z$ pociągają $\scriptstyle x \preccurlyeq z$); jeśli $\scriptstyle x \preccurlyeq y,$ to element $\scriptstyle y$ nazywa się późniejszym od $\scriptstyle x$ (a element $\scriptstyle x$ nazywa się wcześniejszym od $\scriptstyle y$).

Podzbiór $\scriptstyle C$ zbioru $\scriptstyle P$ nazywa się liniowo uporządkowanym, jeżeli dowolne jego dwa elementy można porównać za pomocą relacji $\scriptstyle \preccurlyeq;$ zbiór $\scriptstyle C$ nazywa się wtedy łańcuchem w $\scriptstyle P.$ Element $\scriptstyle u \in P$ nazywa się ograniczeniem górnym łańcucha $\scriptstyle C,$ jeśli element $\scriptstyle u$ jest późniejszy od jakiegokolwiek innego elementu tego łańcucha.

Zbiór częściowo uporządkowany, w którym każdy łańcuch ma ograniczenie górne, nazywa się łańcuchowo zupełnym; element $\scriptstyle m$ nazywa się maksymalnym w zbiorze $\scriptstyle P,$ jeśli $\scriptstyle m \preccurlyeq x$ pociąga $\scriptstyle x = m$ dla dowolnego $\scriptstyle x \in P.$

Twierdzenie Kuratowskiego-Zorna

W dowolnym niepustym zbiorze łańcuchowo zupełnym istnieje (co najmniej jeden) element maksymalny.

Wniosek

W dowolnej niepustej rodzinie zbiorów częściowo uporządkowanej relacją zawierania, do której należy suma każdego jej niepustego łańcucha, istnieje element maksymalny.

Bibliografia

• Krzysztof Ciesielski, Set Theory for the Working Mathematician. Cambridge University Press, 1997. ISBN 0-521-59465-0