Lemat Riemanna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Lemat Riemanna

Niech f\colon [a,b]\to \mathbb{R} będzie funkcją ciągłą z wyjątkiem skończonej liczby punktów tego przedziału. Wówczas

\lim_{\nu \to \infty} \int\limits_{a}^{b} f(x) \sin \nu x dx = 0

Dowód

1. Dla funkcji tożsamościowo równej 1:

 \left| \int\limits_{a}^{b} \sin \nu x dx \right| = \left| \frac{\cos \nu a - \cos \nu b}{\nu} \right| \leqslant \frac{2}{\nu} \to 0

w związku z tym twierdzenie jest prawdziwe dla funkcji f(x) = 1

2. Dla funkcji f(x)=x:

 \left| \int\limits_{a}^{b} x \sin \nu x dx \right| = \left| \left( \frac{\sin \nu x}{\nu^2} - \frac{x \cos \nu x}{\nu} \right)\left| {a \atop b} \right.  \right| =  \left| \frac{\sin \nu a - \sin \nu b}{\nu^2} + \frac{b \cos \nu b - a \cos \nu a}{\nu} \right| \leqslant \frac{2}{\nu^2} + \frac{|a|+|b|}{\nu} \to 0

3. Dla funkcji liniowej f(x) = ax + b, gdzie a, b \in \mathbb{R}:

Słuszność twierdzenia dla tak określonej funkcji wynika z punktów 1. i 2. oraz własności liniowości całki oznaczonej.

4. Dla funkcji przedziałami liniowej Jeżeli funkcja jest liniowa w skończonej ilości podprzedziałów przedziału [a; b] to na mocy 3 jest w każdym z tych podprzedziałów jest słuszny lemat Riemmana wskutek czego twierdzenie jest słuszne w przedziale [a; b]

5. Dla funkcji ciągłej na przedziale [a,b]:

Można przypuszczać że funkcję ciągłą na [a,b] da się aproksymować za pomocą funkcji przedziałami liniowej z dowolną dokładnością. Oczywistym jest wówczas że lemat Riemmana (na podstawie punktu 4) jest prawdziwy także dla dowolnej funkcji ciągłej.

Istotnie w tym przypadku intuicja nie zawodzi, co można wykazać przeprowadzając poniższe rozumowanie.

Jeżeli funkcja jest ciągła na [a,b] to (na mocy twierdzenia Cantora) jest jednostajnie ciągła na [a,b] (przedział ten jest zbiorem zwartym).

Wybierzmy pewną liczbę \varepsilon, wybór ten pociąga za sobą istnienie pewnej liczby \delta, takiej że dla dowolnych wartości  x_1, x_2 \in [a, b] tak, że

 |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon ,

obierzmy następnie liczby a=c_0 < c_1 < ... < c_n = b w taki sposób aby  |c_n - c_{n-1}| < \delta .

Rozważmy funkcję \varphi liniową w każdym z przedziałów  [c_{n-1}; c_n] i o własności  f(c_n) = \phi (c_n) . Weźmy x należączy do przedziału  [c_{n-1}; c_n] . Korzystając z faktu że \varphi jest liniowa wiemy, iż \varphi(x) leży pomiędzy  \phi (c_{n-1}) i  \phi (c_{n}) dlatego liczba \varphi(x)-f(x) leży pomiędzy liczbami  \phi (c_{n-1}) - f(x) i  \phi (c_{n}) - f(x) które mają moduł mniejszy od \varepsilon. Co za tym idzie:

 | \phi (x) - f(x)| < \varepsilon

Wynika z tego, że dla dowolnej ciągłej funkcji \varphi(x)f można znaleźć taką funkcję \varphi taką że:

 | \phi (x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{2(b-a)} ,

przedziałami liniową, to znaczy (na mocy 4) spełniającą lemat Riemanna:

 \left| \int\limits_{a}^{b} \phi (x) \sin \nu x dx \right| < \frac{1}{2} \varepsilon

czyli:


\left| \int\limits_{a}^{b} f(x) \sin \nu x dx \right| \leqslant \left| \int\limits_{a}^{b} (f(x) - \phi (x) ) \sin \nu x dx \right| + \left| \int\limits_{a}^{b} \phi (x) \sin \nu x dx \right| \leqslant \frac{\varepsilon}{2(b-a)} (b - a) + \frac{1}{2} \varepsilon = \varepsilon

Co dowodzi słuszności twierdzenia dla funkcji ciągłej

6. Dla funkcji posiadającej jeden punkt nieciągłości w punkcie c.

Całkę występującą w twierdzeniu rozbijamy na sumę całek:

 \int\limits_{a}^{b} f(x) \sin \nu x dx = \int\limits_{a}^{c} f(x) \sin \nu x dx +\int\limits_{c}^{b} f(x) \sin \nu x dx = \int\limits_{a}^{c} \phi_1(x) \sin \nu x dx +\int\limits_{c}^{b} \phi_2(x) \sin \nu x dx

Przy czym funkcje  \phi_1, \phi_2 są równe funkcji f (odpowiednio) na przedziale [a,c) i (c,a], a w punkcie c są uzupełnione tak aby były ciągłe w przedziałach [a,c] i [c,b] (korzystamy z faktu, iż zmiana wartości w skończonej ilości punktów funkcji podcałkowej nie zmienia wartości całki).

Funkcje  \phi_1, \phi_2 są ciągłe więc (na mocy 5) przechodząc z \nu do nieskończoności otrzymujemy tezę twierdzenia (równość jest zachowana w przejściu granicznym).

7. Dla funkcji mającej skończoną liczbę punktów nieciągłości:

Dzieląc przedział [a,b] na skończoną liczbę podprzedziałów w których funkcja f ma tylko jeden punkt nieciągłości na mocy 6. otrzymujemy tezę twierdzenia. QED