Lemniskata Bernoulliego

Lemniskata Bernoulliego to krzywa płaska opisana równaniem:

$(x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2)\quad$

We współrzędnych biegunowych równanie ma postać:

$r^2 = 2 a^2 \cos 2\phi\quad$.

Równanie parametryczne:

$x = \frac{a \sqrt{2} \cos t}{1 + \sin^2 t}, \quad y = \frac{a \sqrt{2} \sin t \cos t}{1 + \sin^2 t},\; t\in [0,2\pi)$

Krzywa ta ma tę cechę, że dla wszystkich jej punktów iloczyn odległości do ognisk tej krzywej $F_1, F_2$, czyli do punktów o współrzędnych $(-a,0)\quad$ i $(a,0)\quad$ wynosi $a^2\quad$. Jest ona szczególnym przypadkiem owalu Cassiniego. Pole powierzchni obu obszarów ograniczonych krzywą wynosi $2a^2\quad$.

Została ona opisana przez Jakoba Bernoulliego w czasopiśmie naukowym Acta Eruditorum z 1694.

Zobacz też: lista krzywych, lemniskata Bootha