Liczba Bella

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu kombinatoryka.

permutacja kombinacja bez powtórzeń kombinacja z powtórzeniami wariacja bez powtórzeń wariacja z powtórzeniami liczby Bella liczby Catalana liczby Stirlinga liczby Eulera zasada szufladkowa Dirichleta zasada włączeń i wyłączeń

Liczba Bella dla liczby naturalnej $n$ (oznaczenie: $B_n$) to liczba podziałów zbioru $\{1, ..., n\}$.

• $B_0 = 1$, bo zbiór pusty $\{\}$ ma jedyny podział: $\{\}$.
• $B_1 = 1$, bo zbiór $\{1\}$ ma jedyny podział: $\{ \{1\} \}$.
• $B_2 = 2$, bo zbiór $\{1,2\}$ ma dwa podziały: $\{ \{1,2\} \}$ i $\{ \{1\}, \{2\} \}$.
• $B_3 = 5$, bo zbiór $\{1,2,3\}$ ma $5$ podziałów:

1. $\{ \{1,2,3\} \}$
2. $\{ \{1\}, \{2,3\} \}$
3. $\{ \{2\}, \{1,3\} \}$
4. $\{ \{3\}, \{1,2\} \}$
5. $\{ \{1\}, \{2\}, \{3\} \}$

• $B_4 = 15$, $B_5 = 52$, ...

Liczby Bella spełniają następujący wzór rekurencyjny:

$B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}{{n \choose k}B_k}, n\in \mathbb{N}$

Oraz "Wzór Dobińskiego":

$B_n=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}$

Linki zewnętrzne

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000110