Liczba Bella

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu kombinatoryka.




permutacja


kombinacja bez powtórzeń
kombinacja z powtórzeniami


wariacja bez powtórzeń
wariacja z powtórzeniami


liczby Bella
liczby Catalana
liczby Stirlinga
liczby Eulera


zasada szufladkowa Dirichleta
zasada włączeń i wyłączeń


Liczba Bella dla liczby naturalnej n (oznaczenie: B_n) to liczba podziałów zbioru \{1, ..., n\}.

  • B_0 = 1, bo zbiór pusty \{\} ma jedyny podział: \{\}.
  • B_1 = 1, bo zbiór \{1\} ma jedyny podział: \{ \{1\} \}.
  • B_2 = 2, bo zbiór \{1,2\} ma dwa podziały: \{ \{1,2\} \} i \{ \{1\}, \{2\} \}.
  • B_3 = 5, bo zbiór \{1,2,3\} ma 5 podziałów:
    1. \{ \{1,2,3\} \}
    2. \{ \{1\}, \{2,3\} \}
    3. \{ \{2\}, \{1,3\} \}
    4. \{ \{3\}, \{1,2\} \}
    5. \{ \{1\}, \{2\}, \{3\} \}
  • B_4 = 15, B_5 = 52, ...


Liczby Bella spełniają następujący wzór rekurencyjny:

B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}{{n \choose k}B_k}, n\in \mathbb{N}

Oraz "Wzór Dobińskiego":

B_n=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}