Liczba Liouville'a

Liczba Liouville'a – jest to liczba rzeczywista x o tej własności, że dla dowolnej liczby naturalnej n istnieją liczby całkowite p oraz q > 1 takie, że:

$0 < \left|x-\frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^n}.$

Intuicyjnie oznacza to, że dowolną liczbę Liouville'a można "dobrze" aproksymować liczbami wymiernymi. Liczby Liouville'a noszą swą nazwę na cześć Josepha Liouville'a, który wprowadził je w roku 1844 i pokazał, że są one liczbami przestępnymi. Był to pierwszy dowód istnienia liczb przestępnych, co więcej konstruktywny, czyli podający algorytm ich uzyskiwania.

Podstawowe własności

Równoważną definicję liczby Liouville'a otrzymamy przyjmując, że dla dowolnego n istnieje nieskończenie wiele par liczb całkowitych (p, q), dla których spełniona jest powyższa nierówność.

Liczby Liouville'a są niewymierne

Nietrudno wykazać, że jeśli x jest liczbą Liouville'a, to jest liczbą niewymierną. Gdyby tak nie było, istniałyby liczby całkowite c i d, dla których mielibyśmy x = c/d. Niech n oznacza taką liczbę naturalną, że 2ⁿ⁻¹ > d. Wówczas, jeśli p i q są dowolnymi liczbami całkowitymi takimi, że q > 1 and p/q ≠ c/d, to

$\left|x-\frac{p}{q}\right| = \left|\frac{c}{d}-\frac{p}{q}\right|\geqslant \frac{1}{dq} > \frac{1}{2^{n-1}\cdot q}\geqslant\frac{1}{q^n}$

co jest sprzeczne z określeniem liczby Liouville'a.

Stała Liouville'a

Liczba

$c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0,110001000000000000000001000\ldots$

nosi nazwę stałej Liouville'a. Jest ona liczbą Liouville'a – jeśli określimy p_n i q_n następująco:

$p_n = \sum_{j=1}^n 10^{(n! - j!)}; \quad q_n = 10^{n!}$

to dla wszystkich n naturalnych

$|c - p_n/q_n| = \sum_{j=n+1}^\infty 10^{-j!} = 10^{-(n+1)!} + 10^{-(n+2)!} + \cdots < 10^{-(n!n)} = 1/{q_n}^n$

Miarowo, zbiór liczb Liouville'a jest mały

Wykażemy, że zbiór L liczb Liouville'a jest miary zero Lebesgue'a. Dowód przedstawiony poniżej jest oparty na rozumowaniu, które podał Oxtoby. Dla liczb naturalnych $n>2$ oraz $q\geqslant 2$ połóżmy:

$V_{n,q}=\bigcup\limits_{p=-\infty}^\infty \left(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}\right)$.

Zauważmy, że dla każdych liczb naturalnych n i m mamy

$L\cap (-m,m)\subseteq \bigcup\limits_{q=2}^\infty V_{n,q}\cap (-m,m)\subseteq \bigcup\limits_{q=2}^\infty\bigcup\limits_{p=-mq}^{mq} \left( \frac{p}{q}-\frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}\right).$

Oczywiście, $\left|(\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n})-(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n})\right|=\frac{2}{q^n}$. Pamiętając że $n>2$, można również wykazać, że

$\sum\limits_{q=2}^\infty\sum_{p=-mq}^{mq}\frac{2}{q^n}=\sum\limits_{q=2}^\infty\frac{2(2mq+1)}{q^n}\leqslant (4m+1)\sum\limits_{q=2}^\infty\frac{1}{q^{n-1}}\leqslant\frac{4m+1}{n-2}.$

Ponieważ $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{4m+1}{n-2}=0$, to teraz łatwo wnioskujemy, że dla każdej liczby naturalnej m przekrój $L\cap (-m,m)$ jest miary Lebesgue'a zero, a zatem i $L$ jest miary zero. Czyli z miarowego punktu widzenia, prawie żadna liczba rzeczywista nie jest liczbą Liouville'a.

Topologicznie, zbiór liczb Liouville'a jest duży

Dla liczby naturalnej n połóżmy:

$U_n=\bigcup\limits_{q=2}^\infty\bigcup\limits_{p=-\infty}^\infty \left(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}\right)$.

Każdy ze zbiorów $U_n$ jest otwartym gęstym podzbiorem prostej ${\mathbb R}$ (zauważmy, że $U_n$ zawiera wszystkie liczby wymierne). Ponadto $L=\bigcap\limits_{n=1}^\infty U_n\setminus {\mathbb Q}$, zatem L jest gęstym zbiorem typu G_δ, a stąd jego dopełnienie jest zbiorem pierwszej kategorii. Czyli, z topologicznego punktu widzenia, prawie każda liczba rzeczywista jest liczbą Liouville'a.

Stopień niewymierności

Istnieje prosta miara pozwalająca stwierdzić "jak bardzo" niewymierna jest dana liczba. Opiera się ona o "dobroć" aproksymacji liczby x za pomocą liczb wymiernych.

Rozważmy kres górny zbioru liczb rzeczywistych μ o tej własności, że nierówność

$0 < \left|x-\frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{\mu}}$

zachodzi dla nieskończenie wielu par (p, q), gdzie q > 0. Jeśli mierzyć "stopień niewymierności" liczb rzeczywistych za pomocą tej właśnie wielkości, to okaże się, że liczby Liouville'a (i tylko one!) mają nieskończony stopień niewymierności.

Liczby Liouville'a jako liczby przestępne

Poniżej wykażemy, że każda liczba Liouville'a jest przestępna. Stwierdzenie, że dana liczba jest liczbą Liouville'a, oznacza więc stwierdzenie, że jest ona przestępna. Jednak nie każda liczba przestępna jest liczbą Liouville'a – ponieważ zbiór liczb Liouville'a jest zbiorem miary zero Lebesgue'a, to istnieje nieprzeliczalnie wiele liczb przestępnych, które nie są liczbami Liouville'a. Okazuje się, że liczbami Liouville'a nie są również liczby e oraz π.

Punktem kluczowym dowodu jest obserwacja, że liczba algebraiczna, która jest niewymierna, nie daje się w pewnym sensie "dobrze" aproksymować liczbami wymiernymi. Poniższy lemat należący do Liouville'a nazywany jest również często twierdzeniem Liouville'a o aproksymacji diofantycznej.

Lemat: Jeśli α jest liczbą niewymierną, która jest pierwiastkiem wielomianu f stopnia n > 0 o współczynnikach całkowitych, to istnieje liczba rzeczywista A > 0 taka, że dla dowolnych liczb całkowitych p oraz q > 0 zachodzi |α − p/q| > A/qⁿ.

Dowód lematu: Niech M oznacza największą wartość modułu pochodnej |f '(x)| wielomianu f w przedziale [α − 1, α + 1]. Niech α₁, α₂,\ldots ,α_m będą różnymi pierwiastkami wielomianu f, które są różne od α. Wybierzmy taką liczbę A > 0, która spełnia warunek:

$A < \min(1, \frac{1}{M}, |\alpha - \alpha_1|, |\alpha - \alpha_2|,\dots, |\alpha - \alpha_m|)$

Przypuśćmy, że istnieją takie liczby całkowite p, q, dla których nierówność podana w tezie lematu nie zachodzi. Oznacza to, że

$\left|\alpha-\frac{p}{q}\right| \leqslant \frac{A}{q^n}\leqslant A < \min(1, |\alpha-\alpha_1|, |\alpha-\alpha_2|,\ldots , |\alpha-\alpha_m|)$

Wówczas p/q leży w przedziale [α − 1, α + 1] oraz p/q nie jest żadną z liczb {α₁, α₂,\ldots , α_m}. Zatem p/q nie jest też pierwiastkiem f, a ponadto żaden pierwiastek f nie leży pomiędzy α i p/q.

Na mocy twierdzenia o wartości średniej pomiędzy p/q i α istnieje taka liczba x₀, że

$f(\alpha)-f\left(\frac{p}{q}\right) = \left(\alpha-\frac{p}{q}\right)\cdot f^{\prime}(x_0)$

Ponieważ α jest pierwiastkiem f, a p/q nie, zatem |f '(x₀)| > 0 i:

$\left|\alpha-\frac{p}{q}\right| = \frac{|f(\alpha)-f\left(\frac{p}{q}\right)|}{|f^{\prime}(x_0)|}= \frac{|f\left(\frac{p}{q}\right)|}{|f^{\prime}(x_0)|}$

Ponieważ f jest postaci $\sum_{i=0}^{n}c_i\cdot x^i$, gdzie każde c_i jest całkowite, |f(p/q)| można zapisać jako

$|f\left(\frac{p}{q}\right)| = |\sum_{i=0}^{n}c_i\left(\frac{p}{q}\right)^i| = \frac{|\sum_{i=0}^{n}c_ip^iq^{n-i}|}{q^n} \geqslant \frac{1}{q^n}.$

Ostatnia nierówność zachodzi, gdyż p/q nie jest pierwiastkiem wielomianu f, a c_i są liczbami całkowitymi.

Zatem, |f(p/q)| ≥ 1/qⁿ, a skoro |f '(x₀)| ≤ M na mocy określenia liczby M i 1/M > A z definicji A, otrzymujemy stąd sprzeczność:

$\left|\alpha-\frac{p}{q}\right| = \frac{\left|f\left(\frac{p}{q}\right)\right|}{|f^{\prime}(x_0)|} \geqslant \frac{1}{Mq^n} > \frac{A}{q^n}\geqslant \left|\alpha-\frac{p}{q}\right|.$

Wynika stąd, że nie istnieją liczby p i q o takich własnościach, co dowodzi lematu.

Dowód stwierdzenia: Niech x będzie liczbą Liouville'a, wiemy już, że x jest liczbą niewymierną. Gdyby x była liczbą algebraiczną, na mocy lematu istniałyby liczby naturalna n i rzeczywista dodatnia A takie, że dla dowolnych całkowitych p i q:

$\left|x-\frac{p}{q}\right| > \frac{A}{q^n}.$

Niech r będzie taką liczbą naturalną, że 1/(2^r) ≤ A. Jeśli położyć m = r + n, to – ponieważ x jest liczbą Liouville'a – znajdziemy liczby całkowite a, b > 1 i takie, że

$\left|x-\frac{a}{b}\right| < \frac{1}{b^m} = \frac{1}{b^{r+n}} = \frac{1}{b^r b^n}\leqslant \frac{1}{2^rb^n}\leqslant \frac{A}{b^n}$

co stoi w sprzeczności z lematem. Stąd x nie jest algebraiczna, a zatem jest przestępna.

Zobacz też

• liczby przestępne
• liczby algebraiczne
• zbiór miary zero
• zbiór pierwszej kategorii
• ułamek łańcuchowy

Linki zewnętrzne

• Początki liczb przestępnych (ang.)