Liczba Liouville'a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczba Liouville'a – jest to liczba rzeczywista x o tej własności, że dla dowolnej liczby naturalnej n istnieją liczby całkowite p oraz q > 1, takie że:

0 < \left|x-\frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^n}.

Intuicyjnie oznacza to, że dowolną liczbę Liouville'a można "dobrze" aproksymować liczbami wymiernymi. Liczby Liouville'a noszą swą nazwę na cześć Josepha Liouville'a, który wprowadził je w roku 1844 i pokazał, że są one liczbami przestępnymi. Był to pierwszy dowód istnienia liczb przestępnych, co więcej konstruktywny, czyli podający algorytm ich uzyskiwania.

Podstawowe własności[edytuj | edytuj kod]

Równoważną definicję liczby Liouville'a otrzymamy przyjmując, że dla dowolnego n istnieje nieskończenie wiele par liczb całkowitych (p, q), dla których spełniona jest powyższa nierówność.

Liczby Liouville'a są niewymierne[edytuj | edytuj kod]

Nietrudno wykazać, że jeśli x jest liczbą Liouville'a, to jest liczbą niewymierną. Gdyby tak nie było, istniałyby liczby całkowite c i d, dla których mielibyśmy x = c/d. Niech n oznacza taką liczbę naturalną, że 2n−1 > d. Wówczas, jeśli p i q są dowolnymi liczbami całkowitymi, takimi że q > 1 and p/qc/d, to

\left|x-\frac{p}{q}\right| = \left|\frac{c}{d}-\frac{p}{q}\right|\geqslant \frac{1}{dq} > \frac{1}{2^{n-1}\cdot q}\geqslant\frac{1}{q^n}

co jest sprzeczne z określeniem liczby Liouville'a.

Stała Liouville'a[edytuj | edytuj kod]

Liczba

c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0,110001000000000000000001000\ldots

nosi nazwę stałej Liouville'a. Jest ona liczbą Liouville'a – jeśli określimy pn i qn następująco:

p_n = \sum_{j=1}^n 10^{(n! - j!)}; \quad q_n = 10^{n!}

to dla wszystkich n naturalnych

|c - p_n/q_n| = \sum_{j=n+1}^\infty 10^{-j!} = 10^{-(n+1)!} + 10^{-(n+2)!} + \cdots < 10^{-(n!n)} = 1/{q_n}^n

Miarowo, zbiór liczb Liouville'a jest mały[edytuj | edytuj kod]

Wykażemy, że zbiór L liczb Liouville'a jest miary zero Lebesgue'a. Dowód przedstawiony poniżej jest oparty na rozumowaniu, które podał Oxtoby[1]. Dla liczb naturalnych n>2 oraz q\geqslant 2 połóżmy:

V_{n,q}=\bigcup\limits_{p=-\infty}^\infty \left(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}\right).

Zauważmy, że dla każdych liczb naturalnych n i m mamy

L\cap (-m,m)\subseteq \bigcup\limits_{q=2}^\infty V_{n,q}\cap (-m,m)\subseteq \bigcup\limits_{q=2}^\infty\bigcup\limits_{p=-mq}^{mq} \left( \frac{p}{q}-\frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}\right).

Oczywiście, \left|(\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n})-(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n})\right|=\frac{2}{q^n}. Pamiętając że n>2, można również wykazać, że

\sum\limits_{q=2}^\infty\sum_{p=-mq}^{mq}\frac{2}{q^n}=\sum\limits_{q=2}^\infty\frac{2(2mq+1)}{q^n}\leqslant (4m+1)\sum\limits_{q=2}^\infty\frac{1}{q^{n-1}}\leqslant\frac{4m+1}{n-2}.

Ponieważ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{4m+1}{n-2}=0, to teraz łatwo wnioskujemy, że dla każdej liczby naturalnej m przekrój L\cap (-m,m) jest miary Lebesgue'a zero, a zatem i L jest miary zero. Czyli z miarowego punktu widzenia, prawie żadna liczba rzeczywista nie jest liczbą Liouville'a.

Topologicznie, zbiór liczb Liouville'a jest duży[edytuj | edytuj kod]

Dla liczby naturalnej n połóżmy:

U_n=\bigcup\limits_{q=2}^\infty\bigcup\limits_{p=-\infty}^\infty \left(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}\right).

Każdy ze zbiorów U_n jest otwartym gęstym podzbiorem prostej {\mathbb R} (zauważmy, że U_n zawiera wszystkie liczby wymierne). Ponadto L=\bigcap\limits_{n=1}^\infty U_n\setminus {\mathbb Q}, zatem L jest gęstym zbiorem typu Gδ, a stąd jego dopełnienie jest zbiorem pierwszej kategorii. Czyli, z topologicznego punktu widzenia, prawie każda liczba rzeczywista jest liczbą Liouville'a.

Stopień niewymierności[edytuj | edytuj kod]

Istnieje prosta miara pozwalająca stwierdzić "jak bardzo" niewymierna jest dana liczba. Opiera się ona o "dobroć" aproksymacji liczby x za pomocą liczb wymiernych.

Rozważmy kres górny zbioru liczb rzeczywistych μ o tej własności, że nierówność

0 < \left|x-\frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{\mu}}

zachodzi dla nieskończenie wielu par (p, q), gdzie q > 0. Jeśli mierzyć "stopień niewymierności" liczb rzeczywistych za pomocą tej właśnie wielkości, to okaże się, że liczby Liouville'a (i tylko one!) mają nieskończony stopień niewymierności.

Liczby Liouville'a jako liczby przestępne[edytuj | edytuj kod]

Poniżej wykażemy, że każda liczba Liouville'a jest przestępna. Stwierdzenie, że dana liczba jest liczbą Liouville'a, oznacza więc stwierdzenie, że jest ona przestępna. Jednak nie każda liczba przestępna jest liczbą Liouville'a – ponieważ zbiór liczb Liouville'a jest zbiorem miary zero Lebesgue'a, to istnieje nieprzeliczalnie wiele liczb przestępnych, które nie są liczbami Liouville'a. Okazuje się, że liczbami Liouville'a nie są również liczby e oraz π.

Punktem kluczowym dowodu jest obserwacja, że liczba algebraiczna, która jest niewymierna, nie daje się w pewnym sensie "dobrze" aproksymować liczbami wymiernymi. Poniższy lemat należący do Liouville'a nazywany jest również często twierdzeniem Liouville'a o aproksymacji diofantycznej.

Lemat: Jeśli α jest liczbą niewymierną, która jest pierwiastkiem wielomianu f stopnia n > 0 o współczynnikach całkowitych, to istnieje liczba rzeczywista A > 0 taka, że dla dowolnych liczb całkowitych p oraz q > 0 zachodzi |α − p/q| > A/qn.

Dowód lematu: Niech M oznacza największą wartość modułu pochodnej |f '(x)| wielomianu f w przedziale [α − 1, α + 1]. Niech α1, α2,... ,αm będą różnymi pierwiastkami wielomianu f, które są różne od α. Wybierzmy taką liczbę A > 0, która spełnia warunek:

A < \min(1, \frac{1}{M}, |\alpha - \alpha_1|, |\alpha - \alpha_2|,\dots, |\alpha - \alpha_m|)

Przypuśćmy, że istnieją takie liczby całkowite p, q, dla których nierówność podana w tezie lematu nie zachodzi. Oznacza to, że

\left|\alpha-\frac{p}{q}\right| \leqslant \frac{A}{q^n}\leqslant A < \min(1, |\alpha-\alpha_1|, |\alpha-\alpha_2|,\ldots , |\alpha-\alpha_m|)

Wówczas p/q leży w przedziale [α − 1, α + 1] oraz p/q nie jest żadną z liczb {α1, α2,... , αm}. Zatem p/q nie jest też pierwiastkiem f, a ponadto żaden pierwiastek f nie leży pomiędzy α i p/q.

Na mocy twierdzenia o wartości średniej pomiędzy p/q i α istnieje taka liczba x0, że

f(\alpha)-f\left(\frac{p}{q}\right) = \left(\alpha-\frac{p}{q}\right)\cdot f^{\prime}(x_0)

Ponieważ α jest pierwiastkiem f, a p/q nie, zatem |f '(x0)| > 0 i:

\left|\alpha-\frac{p}{q}\right| = \frac{|f(\alpha)-f\left(\frac{p}{q}\right)|}{|f^{\prime}(x_0)|}=
\frac{|f\left(\frac{p}{q}\right)|}{|f^{\prime}(x_0)|}

Ponieważ f jest postaci \sum_{i=0}^{n}c_i\cdot x^i, gdzie każde ci jest całkowite, |f(p/q)| można zapisać jako

|f\left(\frac{p}{q}\right)| = |\sum_{i=0}^{n}c_i\left(\frac{p}{q}\right)^i| = \frac{|\sum_{i=0}^{n}c_ip^iq^{n-i}|}{q^n} \geqslant \frac{1}{q^n}.

Ostatnia nierówność zachodzi, gdyż p/q nie jest pierwiastkiem wielomianu f, a ci są liczbami całkowitymi.

Zatem, |f(p/q)| ≥ 1/qn, a skoro |f '(x0)| ≤ M na mocy określenia liczby M i 1/M > A z definicji A, otrzymujemy stąd sprzeczność:

\left|\alpha-\frac{p}{q}\right| = \frac{\left|f\left(\frac{p}{q}\right)\right|}{|f^{\prime}(x_0)|} \geqslant \frac{1}{Mq^n} > \frac{A}{q^n}\geqslant \left|\alpha-\frac{p}{q}\right|.

Wynika stąd, że nie istnieją liczby p i q o takich własnościach, co dowodzi lematu.

Dowód stwierdzenia: Niech x będzie liczbą Liouville'a, wiemy już, że x jest liczbą niewymierną. Gdyby x była liczbą algebraiczną, na mocy lematu istniałyby liczby naturalna n i rzeczywista dodatnia A, takie że dla dowolnych całkowitych p i q:

\left|x-\frac{p}{q}\right| > \frac{A}{q^n}.

Niech r będzie taką liczbą naturalną, że 1/(2r) ≤ A. Jeśli położyć m = r + n, to – ponieważ x jest liczbą Liouville'a – znajdziemy liczby całkowite a, b > 1 i takie, że

\left|x-\frac{a}{b}\right| < \frac{1}{b^m} = \frac{1}{b^{r+n}} = \frac{1}{b^r b^n}\leqslant \frac{1}{2^rb^n}\leqslant \frac{A}{b^n}

co stoi w sprzeczności z lematem. Stąd x nie jest algebraiczna, a zatem jest przestępna.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Oxtoby, John C. Measure and category. A survey of the analogies between topological and measure spaces. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 2. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1980, strona 8. ISBN 0-387-90508-1

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]