Liczba epsilonowa

Liczba epsilonowa - liczba porządkowa $\varepsilon$ o tej własności, że

$\varepsilon=\omega^\varepsilon$.

Najmniejszą liczbą epsilonową jest liczba

$\varepsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^\cdots}} = \sup \{ \omega, \omega^{\omega}, \omega^{\omega^{\omega}}, \omega^{\omega^{\omega^\omega}}, \dots \}$.

Liczba $\varepsilon_0$ jest przeliczalna - ma ona zastosowanie w wielu dowodach pozaskończonych, na przykład w dowodzie twierdzenia Goodsteina. Kolejne liczby epsilonowe indeksujemy kolejnymi liczbami porządkowymi, na przykład:

$\varepsilon_0, \varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_\omega, \ldots, \varepsilon_{\varepsilon_0}, \ldots, \varepsilon_{\omega_1}, \ldots$.

$\varepsilon_1 = \sup\{\varepsilon_0 + 1, \varepsilon_0 \cdot \omega, {\varepsilon_0}^\omega, {\varepsilon_0}^{{\varepsilon_0}^\omega}, \ldots\}= \sup\{0, 1, \varepsilon_0, {\varepsilon_0}^{\varepsilon_0}, {\varepsilon_0}^{{\varepsilon_0}^{\varepsilon_0}}, \ldots\}$

$\varepsilon_\omega=\sup\{\varepsilon_0, \varepsilon_1, \varepsilon_2,\ldots \}$.

Własności

• Liczba $\varepsilon_\alpha$ jest przeliczalna wtedy i tylko wtedy, gdy liczba $\alpha$ jest przeliczalna.
• Każda nieprzeliczalna liczba kardynalna jest liczbą epsilonową.
• Suma (mnogościowa) dowolnej niepustej rodziny liczb epsilonowych jest liczbą epsilonową.
• Każda liczba epsilonowa jest nierozkładalna, to znaczy jeśli $\varepsilon$ jest liczbą epsilonową oraz $\alpha, \beta <\varepsilon$, to $\alpha+\beta<\varepsilon$.
• Jeśli $\varepsilon$ jest liczbą epsilonową, to

(a) $\beta+\varepsilon=\varepsilon$ dla każdej liczby $\beta<\varepsilon$,

(b) $\beta\cdot\varepsilon=\varepsilon$ dla każdej liczby $1\leqslant\beta<\varepsilon$,

(c) $\beta^\varepsilon=\varepsilon$ dla każdej liczby $2\leqslant\beta<\varepsilon$.

Zastosowania

• Dowód twierdzenia Goodsteina.
• Liczby epsilonowe można zastosować do uzasadnienia następującego twierdzenia: istnieje nieskończenie wiele par liczb porządkowych $(\alpha, \beta)$ takich, że $\alpha^\beta=\beta^\alpha$ (zauważmy, że wśród liczb naturalnych taką własność ma jedynie pary (2,4) i (4,2)). Przypomnijmy, że dla dowolnej liczby porządkowej $\alpha$ (zob. arytmetyka liczb porządkowych) zachodzi równość $\alpha \cdot \omega = (\alpha+1)\cdot \omega$. Istotnie, $\alpha\cdot \omega\leq (\alpha+1)\cdot \omega\leq (\alpha + \alpha)\cdot \omega=(\alpha\cdot 2)\cdot \omega=\alpha \cdot (2\cdot \omega)=\alpha \cdot \omega$. Jeśli $\varepsilon$ jest dowolną liczbą epsilonową, to dla $\alpha=\omega$ oraz $\beta=\varepsilon \cdot \omega$ para $(\alpha, \beta)$ ma żądaną własność. Istotnie:

$\beta^\alpha=(\varepsilon \cdot \omega)^\omega=(\omega^\varepsilon \cdot \omega)^\omega=(\omega^{\varepsilon+1})^\omega=\omega^{\varepsilon \cdot \omega}=\alpha^\beta$.

Zobacz też

• liczba porządkowa Bachmanna–Howarda

Bibliografia

1. Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria Mnogości. Warszawa: PWN, 2007. 
2. Wacław Sierpiński: Cardinal and ordinal numbers. Wyd. drugie poprawione. Warszawa: PWN, 1965.