Liczba epsilonowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł jest częścią serii
Historia oznaczeń
matematycznych
Rhind Mathematical Papyrus.jpg

+ i −
=
≤, ≥, <, >
znak nieskończoności
ułamki zwykłe
separator dziesiętny
moduł
znak epsilon


Według działów
matematyki

analiza matematyczna
rachunek różniczkowy i całkowy
logika
teoria grafów
teoria liczb


Stałe matematyczne

Edytuj ten szablon

Liczba epsilonowa - liczba porządkowa \varepsilon o tej własności, że

\varepsilon=\omega^\varepsilon.

Najmniejszą liczbą epsilonową jest liczba

\varepsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^\cdots}} = \sup \{ \omega, \omega^{\omega}, \omega^{\omega^{\omega}}, \omega^{\omega^{\omega^\omega}}, \dots \}.

Liczba \varepsilon_0 jest przeliczalna - ma ona zastosowanie w wielu dowodach pozaskończonych, na przykład w dowodzie twierdzenia Goodsteina. Kolejne liczby epsilonowe indeksujemy kolejnymi liczbami porządkowymi, na przykład:

\varepsilon_0, \varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_\omega, \ldots, \varepsilon_{\varepsilon_0}, \ldots, \varepsilon_{\omega_1}, \ldots .
\varepsilon_1 = \sup\{\varepsilon_0 + 1, \varepsilon_0 \cdot \omega, {\varepsilon_0}^\omega, {\varepsilon_0}^{{\varepsilon_0}^\omega}, \ldots\}= \sup\{0, 1, \varepsilon_0, {\varepsilon_0}^{\varepsilon_0}, {\varepsilon_0}^{{\varepsilon_0}^{\varepsilon_0}}, \ldots\}
\varepsilon_\omega=\sup\{\varepsilon_0, \varepsilon_1, \varepsilon_2,\ldots \}.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Liczba \varepsilon_\alpha jest przeliczalna wtedy i tylko wtedy, gdy liczba \alpha jest przeliczalna.
  • Każda nieprzeliczalna liczba kardynalna jest liczbą epsilonową.
  • Suma (mnogościowa) dowolnej niepustej rodziny liczb epsilonowych jest liczbą epsilonową.
  • Każda liczba epsilonowa jest nierozkładalna, to znaczy jeśli \varepsilon jest liczbą epsilonową oraz \alpha, \beta <\varepsilon, to \alpha+\beta<\varepsilon.
  • Jeśli \varepsilon jest liczbą epsilonową, to
(a) \beta+\varepsilon=\varepsilon dla każdej liczby \beta<\varepsilon,
(b) \beta\cdot\varepsilon=\varepsilon dla każdej liczby 1\leqslant\beta<\varepsilon,
(c) \beta^\varepsilon=\varepsilon dla każdej liczby 2\leqslant\beta<\varepsilon.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

  • Dowód twierdzenia Goodsteina.
  • Liczby epsilonowe można zastosować do uzasadnienia następującego twierdzenia: istnieje nieskończenie wiele par liczb porządkowych (\alpha, \beta) takich, że \alpha^\beta=\beta^\alpha (zauważmy, że wśród liczb naturalnych taką własność ma jedynie pary (2,4) i (4,2)). Przypomnijmy, że dla dowolnej liczby porządkowej \alpha (zob. arytmetyka liczb porządkowych) zachodzi równość \alpha \cdot \omega = (\alpha+1)\cdot \omega. Istotnie, \alpha\cdot \omega\leq (\alpha+1)\cdot \omega\leq (\alpha + \alpha)\cdot \omega=(\alpha\cdot 2)\cdot \omega=\alpha \cdot (2\cdot \omega)=\alpha \cdot \omega. Jeśli \varepsilon jest dowolną liczbą epsilonową, to dla \alpha=\omega oraz \beta=\varepsilon \cdot \omega para (\alpha, \beta) ma żądaną własność. Istotnie:
\beta^\alpha=(\varepsilon \cdot \omega)^\omega=(\omega^\varepsilon \cdot \omega)^\omega=(\omega^{\varepsilon+1})^\omega=\omega^{\varepsilon \cdot \omega}=\alpha^\beta.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]