Liczba idealna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Liczba idealnadywizor pierścienia liczb całkowitych A pewnego ciała liczb algebraicznych nazywane często „dywizorami całkowitymi” pierścienia A. Wspomniane dywizory tworzą półgrupę wolną z jedynką, a jej wolne generatory to tzw. pierwsze liczby idealne. Liczby idealne można utożsamiać z ideałami pierścienia A[1].

Liczby idealne zostały wprowadzone w celu usunięcia braku jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze w pierścieniach całkowitych liczb pierwszych (zob. pierścień z jednoznacznością rozkładu). Dla każdego a \in A rozkład odpowiedniego dywizora \varphi(a) na iloczyn pierwszych liczb idealnych można rozpatrywać jako zamianę jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze w przypadku, gdy w pierścieniu A tej jednoznaczności rozkładu nie ma.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Pierścień A wszystkich liczb całkowitych ciała \mathbb{Q}(\sqrt{-5}) składa się ze wszystkich takich liczb a + b \sqrt{-5}, gdzie a, b \in \mathbb{Z}. W pierścieniu tym liczba 6 ma dwa różne rozkłady na czynniki:

6 = 2 \cdot 3 = (1 - \sqrt{-5}) \cdot (1 + \sqrt{-5}),

przy czym liczby 2, 3, 1 - \sqrt{-5}, 1 + \sqrt{-5} są różnymi liczbami pierwszymi pierścienia A. Zatem rozkład na czynniki pierwsze w A jest niejednoznaczny. Jednak w półgrupie dywizorów \mathcal{D} elementy \varphi(2), \varphi(3), \varphi(1 - \sqrt{-5}), \varphi(1 + \sqrt{-5}) nie są proste, a mianowicie:

\varphi(2) = \mathfrak{p}_1^2, \varphi(3) = \mathfrak{p}_2 \mathfrak{p}_3, \varphi(1 - \sqrt{-5}) = \mathfrak{p}_1 \mathfrak{p}_2, \varphi(1 + \sqrt{-5}) = \mathfrak{p}_1 \mathfrak{p}_3,

gdzie \mathfrak{p}_1, \mathfrak{p}_2, \mathfrak{p}_3 są pierwszymi liczbami idealnymi w \mathcal{D}. W taki sposób oba rozkłady liczby 6 na iloczyn czynników pierwszych w pierścieniu A odpowiadają w półgrupie \mathcal{D} jednoznacznemu rozkładowi \varphi(6) = \mathfrak{p}_1^2 \mathfrak{p}_2 \mathfrak{p}_3.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Na podstawie encyklopedii matematycznej pod redakcją Winogradowa[2].

Pojęcie liczb idealnych zostało wprowadzone[3] przez Ernsta Kummera przy badaniu arytmetyki ciał podziału koła[4][5]. Niech K = \mathbb{Q}(\zeta) będzie polem podziału koła na p części (gdzie p jest liczbą pierwszą całkowitą), a A = \mathbb{Z}(\zeta) niech będzie pierścieniem liczb całkowitych pierścienia K. Liczbami idealnymi u Kummera były iloczyny idealnych liczb pierwszych. Natomiast idealne liczby pierwsze dzielące daną pierwszą liczbę naturalną qp otrzymuje się, używając twierdzenia Kummera. Wykorzystując fakt, że A ma bazę 1, \zeta, \zeta^2, \cdots, \zeta^{p-2} nad \mathbb{Z}, Kummer rozpatrywał rozkład wielomianu podziału koła F_p(X)\; w \mathbb{Z}_q[X]\;. Liczbami idealnymi dzielącymi liczbę q są elementy znajdujące się we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z nieprzywiedlnymi czynnikami rozkładu wielomianu F_p(X)\;. Analogiczną metodą można opracować teorię podzielności w ciałach postaci \mathbb{Q}(\zeta, \sqrt[p]{m}), gdzie m \in \mathbb{Q} (\zeta).

Rozszerzenia teorii liczb idealnych na przypadek dowolnego ciała liczb algebraicznych dokonali Leopold Kronecker i Richard Dedekind. Prace Kroneckera rozwijały teorię dywizorów, a Dedekind każdej liczbie idealnej przyporządkowywał „ideał” pierścienia A, przez który rozumiał podzbiór A, składający się z 0 i wszystkich takich a, które są podzielne przez daną liczbę idealną. Później pojęcie ideału zostało uogólnione na dowolne pierścienie. Pierścień, w którym pojęcia ideału i dywizora są identyczne nazywa się pierścieniem Dedekinda.

Stan prac nad liczbami idealnymi do roku 1985 opisano w monografii Borewicza i Szafarewicza[6].

Przypisy

  1. И. М. Виноградов: Математическая Энциклопедия. Wyd. 1. Cz. 2 Д - Коо. Москва: Советская Энциклопедия, 1979, s. 484. (ros.)
  2. И. М. Виноградов: Математическая Энциклопедия. Wyd. 1. Cz. 2 Д - Коо. Москва: Советская Энциклопедия, 1979, s. 484-485. (ros.)
  3. Bourbaki N.: Algèbre commutative. Paris: Hermann, 1961-1965, seria: Éléments de matématique., wyd. ros., 1971, s. 652
  4. Ernst Kummer. „J. reine und angew. Math.”. 35, s. 319-367, 1847. 
  5. Ernst Kummer. „J. math. pures et appl.”. 16, s. 377-498, 1851. 
  6. Боревич З. И., Шафаревич И. Р.: Теория чисел. Москва: Наука, 1985, s. 175-279. (ros.)

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Ernst Kummer. „J. reine und angew. Math.”. 35, s. 319-367, 1847. 
  • Ernst Kummer. „J. math. pures et appl.”. 16, s. 377-498, 1851. 
  • Bourbaki N.: Algèbre commutative. Paris: Hermann, 1961-1965, seria: Éléments de matématique.
  • Боревич З. И., Шафаревич И. Р.: Теория чисел. Москва: Наука, 1985. (ros.)
  • И. М. Виноградов: Математическая Энциклопедия. Wyd. 1. Cz. 2 Д - Коо. Москва: Советская Энциклопедия, 1979. (ros.)