Liczba idealna

Liczba idealna – dywizor pierścienia liczb całkowitych A pewnego ciała liczb algebraicznych nazywane często „dywizorami całkowitymi” pierścienia A. Wspomniane dywizory tworzą półgrupę wolną z jedynką, a jej wolne generatory to tzw. pierwsze liczby idealne. Liczby idealne można utożsamiać z ideałami pierścienia A.

Liczby idealne zostały wprowadzone w celu usunięcia braku jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze w pierścieniach całkowitych liczb pierwszych (zob. pierścień z jednoznacznością rozkładu). Dla każdego $a \in A$ rozkład odpowiedniego dywizora $\varphi(a)$ na iloczyn pierwszych liczb idealnych można rozpatrywać jako zamianę jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze w przypadku, gdy w pierścieniu A tej jednoznaczności rozkładu nie ma.

Przykład

Pierścień A wszystkich liczb całkowitych ciała $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ składa się ze wszystkich takich liczb $a + b \sqrt{-5}$, gdzie $a, b \in \mathbb{Z}$. W pierścieniu tym liczba 6 ma dwa różne rozkłady na czynniki:

$6 = 2 \cdot 3 = (1 - \sqrt{-5}) \cdot (1 + \sqrt{-5})$,

przy czym liczby $2, 3, 1 - \sqrt{-5}, 1 + \sqrt{-5}$ są różnymi liczbami pierwszymi pierścienia A. Zatem rozkład na czynniki pierwsze w A jest niejednoznaczny. Jednak w półgrupie dywizorów $\mathcal{D}$ elementy $\varphi(2), \varphi(3), \varphi(1 - \sqrt{-5}), \varphi(1 + \sqrt{-5})$ nie są proste, a mianowicie:

$\varphi(2) = \mathfrak{p}_1^2, \varphi(3) = \mathfrak{p}_2 \mathfrak{p}_3, \varphi(1 - \sqrt{-5}) = \mathfrak{p}_1 \mathfrak{p}_2, \varphi(1 + \sqrt{-5}) = \mathfrak{p}_1 \mathfrak{p}_3$,

gdzie $\mathfrak{p}_1, \mathfrak{p}_2, \mathfrak{p}_3$ są pierwszymi liczbami idealnymi w $\mathcal{D}$. W taki sposób oba rozkłady liczby 6 na iloczyn czynników pierwszych w pierścieniu A odpowiadają w półgrupie $\mathcal{D}$ jednoznacznemu rozkładowi $\varphi(6) = \mathfrak{p}_1^2 \mathfrak{p}_2 \mathfrak{p}_3$.

Historia

Na podstawie encyklopedii matematycznej pod redakcją Winogradowa.

Pojęcie liczb idealnych zostało wprowadzone przez Ernsta Kummera przy badaniu arytmetyki ciał podziału koła. Niech $K = \mathbb{Q}(\zeta)$ będzie polem podziału koła na p części (gdzie p jest liczbą pierwszą całkowitą), a $A = \mathbb{Z}(\zeta)$ niech będzie pierścieniem liczb całkowitych pierścienia K. Liczbami idealnymi u Kummera były iloczyny idealnych liczb pierwszych. Natomiast idealne liczby pierwsze dzielące daną pierwszą liczbę naturalną q ≠ p otrzymuje się, używając twierdzenia Kummera. Wykorzystując fakt, że A ma bazę $1, \zeta, \zeta^2, \cdots, \zeta^{p-2}$ nad $\mathbb{Z}$, Kummer rozpatrywał rozkład wielomianu podziału koła $F_p(X)\;$ w $\mathbb{Z}_q[X]\;$. Liczbami idealnymi dzielącymi liczbę q są elementy znajdujące się we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z nieprzywiedlnymi czynnikami rozkładu wielomianu $F_p(X)\;$. Analogiczną metodą można opracować teorię podzielności w ciałach postaci $\mathbb{Q}(\zeta, \sqrt[p]{m})$, gdzie $m \in \mathbb{Q} (\zeta)$.

Rozszerzenia teorii liczb idealnych na przypadek dowolnego ciała liczb algebraicznych dokonali Leopold Kronecker i Richard Dedekind. Prace Kroneckera rozwijały teorię dywizorów, a Dedekind każdej liczbie idealnej przyporządkowywał „ideał” pierścienia A, przez który rozumiał podzbiór A, składający się z 0 i wszystkich takich a, które są podzielne przez daną liczbę idealną. Później pojęcie ideału zostało uogólnione na dowolne pierścienie. Pierścień, w którym pojęcia ideału i dywizora są identyczne nazywa się pierścieniem Dedekinda.

Stan prac nad liczbami idealnymi do roku 1985 opisano w monografii Borewicza i Szafarewicza.

Bibliografia

• Ernst Kummer. „J. reine und angew. Math.”. 35, s. 319-367, 1847. 
• Ernst Kummer. „J. math. pures et appl.”. 16, s. 377-498, 1851. 
• Bourbaki N.: Algèbre commutative. Paris: Hermann, 1961-1965, seria: Éléments de matématique.
• Боревич З. И., Шафаревич И. Р.: Теория чисел. Москва: Наука, 1985. (ros.)
• И. М. Виноградов: Математическая Энциклопедия. Wyd. 1. Cz. 2 Д - Коо. Москва: Советская Энциклопедия, 1979. (ros.)