Liczba obrotu

Liczba obrotu mówi o asymptotycznym zachowaniu iteracji dyfeomorficznego odwzorowania okręgu w siebie. Pojęcie to odgrywa ważną rolę w teorii układów dynamicznych.

Definicja

Niech $f\$ będzie odwzorowaniem ciągłym okręgu w siebie $f \colon S^1 \rightarrow S^1$ Liczbę obrotu odwzorowania $f\$ definiujemy jako: $\omega(x)=\lim_{n\to\infty} \frac{f^n(x)-x}{n}.$ gdzie $f^n\$ jest $n\$-tą iteracją odwzorowania $f\$. Zazwyczaj liczba obrotu jest niezależna od wyboru punktu $x\$ (patrz: twierdzenie o istnieniu liczby obrotu).

Przykłady

Niech f będzie dyfeomorfizmem okręgu posiadającym punkt stały, tzn $\exists_{x \in S^1} f(x) = x$. Wtedy liczba obrotu odwzorowania f wynosi 0.
Niech f będzie obrotem okręgu w prawo o kąt $\alpha$. Wtedy liczba obrotu f to $\alpha$.

Zobacz też

• Sebastian van Strien, Rotation Numbers and Poincaré's Theorem, (2001)