Liczba trójkątna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Liczby trójkątne

W matematyce n-ta liczba trójkątna Tn to liczba obiektów, które – ustawione w regularnej trójkątnej siatce – mogą utworzyć kształt wypełnionego trójkąta równobocznego, w którego boku stoi n obiektów. Początkowymi liczbami trójkątnymi (włączając "zerową" liczbę trójkątną T0 = 0, odpowiadającą "trójkątowi pustemu") są

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

(ciąg A000217 w OEIS).

Każdą liczbę trójkątną można przedstawić w postaci sumy kolejnych, początkowych liczb naturalnych: T_n= 1+2+3+ \dotsb +n. Tę sumę skończonego ciągu arytmetycznego zapisać można w postaci zwartej:

T_n = \frac{n(n+1)}{2}

lub przy pomocy symbolu Newtona:

T_n = {n+1 \choose 2}.

Symbol \textstyle {n+1 \choose 2} oznacza liczbę różnych dwuelementowych podzbiorów zbioru (n+1)–elementowego, zatem n–ta liczba trójkątna jest rozwiązaniem zagadnienia przywitań dla n + 1 osób.[1]

Korzystając z powyższego wzoru możemy obliczyć różnicę i sumę dwóch kolejnych liczb trójkątnych:

różnica: t_{n+1} - t_{n} = n+1 ,
suma: t_{n+1} + t_{n} = {(n+1)}^2 .

Przypisy

  1. Zagadnienie przywitań (ang. handshake problem): w pomieszczeniu spotyka się N osób, każda przywita się z każdą, ile będzie przywitań (handshake, dosł. podań ręki)?

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]