Liczby Armstronga

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczba Armstronga (narcystyczna) - n-cyfrowa liczba naturalna która jest sumą swoich cyfr podniesionych do potęgi n.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech a = \sum_{k = 1}^n a_kb^{k - 1} będzie liczbą naturalną z reprezentacją a_{n}a_{n-1}\ldots a_1 w systemie o podstawie b (tak więc 0\leqslant a_k <b dla k=1,\ldots,n). Jeśli dla pewnej liczby naturalnej m zachodzi

a = \sum_{i = 1}^m {a_i}^m

to powiemy, że a jest m-narcystyczną liczbą w bazie b .

Liczba narcystyczna to n-cyfrowa n-narcystyczna liczba w bazie dziesiętnej. Tak więc liczby narcystyczne to n-cyfrowe liczby naturalne spełniające warunek:

\sum\limits_{1 \leqslant k \leqslant n} a^{n}_k =\sum\limits_{1 \leqslant k \leqslant n} a_k10^{k-1}

gdzie: a_n, a_{n-1},\ldots, a_1 to kolejne cyfry liczby (od najbardziej znaczącej do najmniej znaczącej)

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Istnieją dokładnie cztery liczby 3-narcystyczne:
153=1^3+5^3+3^3
370=3^3+7^3+0^3
 371=3^3+7^3+1^3 oraz
407=4^3+0^3+7^3.
  • Jeśli x jest liczbą narcystyczną, to
10^{n-1} \leqslant x \leqslant n9^n

Ponieważ 10^{n-1} >n9^n dla n \geqslant 61, to z powyższych nierówności wnioskujemy, że istnieje skończona ilość liczb Armstronga. Pokazano, że istnieje dokładnie 88 takich liczb.