Liczby Eulera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu kombinatoryka.




permutacja


kombinacja bez powtórzeń
kombinacja z powtórzeniami


wariacja bez powtórzeń
wariacja z powtórzeniami


liczby Bella
liczby Catalana
liczby Stirlinga
liczby Eulera


zasada szufladkowa Dirichleta
zasada włączeń i wyłączeń


Liczby Eulera - dwa ciągi liczbowe badane przez Leonarda Eulera.

Liczby Eulera I rzędu[edytuj | edytuj kod]

Opisują ile jest permutacji n-elementowego zbioru posiadających k wzniesień, tzn. k pozycji, dla których \pi _{j} < \pi _{j+1}\,. Symbolem dla liczb Eulera I rodzaju jest:


\left\langle
\begin{matrix}
n\\
k\\
\end{matrix}
\right\rangle

Liczby te spełniają wzór rekurencyjny postaci:


\left\langle
\begin{matrix}
n\\
k\\
\end{matrix}
\right\rangle = 
(k+1)
\left\langle
\begin{matrix}
n - 1\\
k\\
\end{matrix}
\right\rangle + 
(n - k)
\left\langle
\begin{matrix}
n - 1\\
k - 1\\
\end{matrix}
\right\rangle


Z warunkami brzegowymi 
\left\langle
\begin{matrix}
0\\
0\\
\end{matrix}
\right\rangle = 1,\ 
\left\langle
\begin{matrix}
n\\
0\\
\end{matrix}
\right\rangle = 1,\ 
\left\langle
\begin{matrix}
n\\
n\\
\end{matrix}
\right\rangle = 0

Trójkąt liczbowy[edytuj | edytuj kod]

n/k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1
1 1 0
2 1 1 0
3 1 4 1 0
4 1 11 11 1 0
5 1 26 66 26 1 0
6 1 57 302 302 57 1 0
7 1 120 1191 2416 1191 120 1 0
8 1 247 4293 15619 15619 4293 247 1 0
9 1 502 14608 88234 156190 88234 14608 502 1 0

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • 
\left\langle
\begin{matrix}
n\\
k\\
\end{matrix}
\right\rangle = \sum _{m=0} ^{k}
{n+1 \choose m }(k+1 -m)^{n}(-1)^{m}
  • 
\left\langle
\begin{matrix}
n\\
k\\
\end{matrix}
\right\rangle = \sum _{m=0} ^{k}
{n+1 \choose m }(K+1 -m)^{n}(-4)^{M}

Liczby Eulera II rzędu[edytuj | edytuj kod]

Liczby te są oznaczane jako:


\left\langle\!\!\left\langle
\begin{matrix}
n\\
k\\
\end{matrix}
\right\rangle\!\!\right\rangle


spełniają równanie rekurencyjne postaci:


\left\langle\!\!\left\langle
\begin{matrix}
n\\
k\\
\end{matrix}
\right\rangle\!\!\right\rangle = 
(k+1)
\left\langle\!\!\left\langle
\begin{matrix}
n-1\\
k\\
\end{matrix}
\right\rangle\!\!\right\rangle + 
(2n -1 -k)

\left\langle\!\!\left\langle
\begin{matrix}
n - 1\\
k - 1\\
\end{matrix}
\right\rangle\!\!\right\rangle

Z warunkami brzegowymi 
\left\langle\!\!\left\langle
\begin{matrix}
0\\
0\\
\end{matrix}
\right\rangle\!\!\right\rangle = 1,\ 
\left\langle\!\!\left\langle
\begin{matrix}
n\\
0\\
\end{matrix}
\right\rangle\!\!\right\rangle = 1,\ 
\left\langle\!\!\left\langle
\begin{matrix}
n\\
n\\
\end{matrix}
\right\rangle\!\!\right\rangle = 0

Trójkąt liczbowy[edytuj | edytuj kod]

n/k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1
1 1 0
2 1 2 0
3 1 8 6 0
4 1 22 58 24 0
5 1 52 328 444 120 0
6 1 114 1452 4400 3708 720 0
7 1 240 5610 32120 58140 33984 5040 0
8 1 494 19950 195800 644020 785304 341136 40320 0
9 1 1004 67260 1062500 5765500 12440064 11026296 3733920 362880 0