Liczby Fermata

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczba Fermataliczba naturalna postaci F_n=2^{2^n}+1, gdzie n jest nieujemną liczbą całkowitą. Nazwano je tak dla upamiętnienia francuskiego matematyka Fermata, który pierwszy badał ich własności.

Faktoryzacje liczb Fermata[edytuj | edytuj kod]

Oto kilka początkowych liczb Fermata:

F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65537
F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721
F7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

Liczby Fermata a pierwszość[edytuj | edytuj kod]

Patrząc na pięć kolejnych liczb Fermat wyraził przypuszczenie, że wszystkie liczby tej postaci są pierwsze, jednak Euler w roku 1732 pokazał, że F5 = 4294967297 = 641 · 6700417.

Do chwili obecnej jedynymi znanymi liczbami pierwszymi Fermata są właśnie F0, F1, F2, F3, F4 i nie wiadomo, czy jest ich więcej.

Zauważmy, że jeżeli liczba 2n + 1 jest liczbą pierwszą, to n musi być potęgą 2, wobec tego każda liczba pierwsza tej postaci jest liczbą pierwszą Fermata.

Liczby Fermata – metoda T. Pépina[edytuj | edytuj kod]

W roku 1877 francuski matematyk Theophile Pépin określił metodę sprawdzania czy konkretna liczba Fermata jest liczbą pierwszą.

Dla n > 1, jeśli m = ( Fn – 1 ) / 2 to Fn jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli 3 m + 1.

Liczby Fermata – metoda T. Pépina – przykład[edytuj | edytuj kod]

  • liczba F2 = 17
  • zatem m = 8
  • więc 3 8 + 1 = 6562
  • 6562 / 17 = 386
  • dzieli się zatem bez reszty, co świadczy o pierwszości liczby F2

Wzory rekurencyjne[edytuj | edytuj kod]

Liczby Fermata spełniają następujące zależności rekurencyjne:

  • F_{n} = (F_{n-1}-1)^{2}+1\;
  • F_{n} = F_{n-1} + 2^{2^{n-1}}F_{0} \cdots F_{n-2}
  • F_{n} = F_{n-1}^2 - 2(F_{n-2}-1)^2
  • F_{n} = F_{0} \cdots F_{n-1} + 2

dla n ≥ 2.

Najprostszy dowód tych własności polega na zastosowaniu indukcji matematycznej. Z ostatniej z nich wynika twierdzenie Goldbacha:

wszystkie liczby Fermata są względnie pierwsze

Jako natychmiastowy wniosek otrzymuje się stąd dowód faktu, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele – każda liczba Fermata jest albo pierwsza, albo ma dzielnik pierwszy, który nie dzieli żadnej z pozostałych liczb Fermata.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Kilka dalszych własności liczb Fermata:

  • Jeżeli n\geq2, to F_n\equiv17\mbox{ albo }41\pmod{72} (zobacz: kongruencja)
  • Jeśli n\geq2, to F_n\equiv17,37,57,\mbox{ albo }97\pmod{100}.
  • Liczba D(n,b) cyfr liczby F_n w pozycyjnym systemie liczbowym o podstawie b jest równa D(n,b) = \left\lfloor \log_{b}\left(2^{2^{n}}+1\right)+1 \right\rfloor \approx \lfloor 2^{n}\,\log_{b}2+1 \rfloor (zobacz: funkcja podłoga)
  • Żadna liczba Fermata oprócz F_1=5 nie daje się przedstawić jako suma dwóch liczb pierwszych.
  • Żadna liczba pierwsza Fermata nie daje się przedstawić jako różnica dwóch p-tych potęg, gdzie p jest liczbą pierwszą większą od 2.

Więcej o liczbach pierwszych Fermata[edytuj | edytuj kod]

Dowodząc, że F5 jest liczbą złożoną, Euler zauważył, że każdy dzielnik liczby Fn musi mieć postać k2n+1 + 1. Dla n = 5 oznacza to, że jedynie liczby postaci 64k + 1 mogą dzielić Fn; dla biegłych w arytmetyce matematyków XVIII wieku sprawdzenie czy któraś z początkowych liczb tej postaci dzieli F5 nie było żadnym problemem.

Poniższe problemy dotyczące liczb pierwszych Fermata nadal pozostają otwarte:

  • Czy Fn jest liczbą złożoną dla n > 4?
  • Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Fermata?
  • Czy istnieje nieskończenie wiele złożonych liczb Fermata?

W chwili obecnej (2004) wiadomo, że dla 5 ≤ n ≤ 32 wszystkie liczby Fn są złożone, jednak ich rozkłady na czynniki pierwsze znane są jedynie dla n ≤ 11. Największą znaną złożoną liczbą Fermata jest F2478782, a jednym z jej czynników pierwszych jest 3 · 22478785 + 1.

27 sierpnia 2000 roku nestor Sergio de Aranjo Melo stwierdził, że dla n = 35563, liczba Fermata ma dzielnik: 357 · 235567 + 1.

Poniżej kilka warunków dotyczących równoważnych temu, by dana liczba Fermata była pierwsza.

  • Twierdzenie Protha: Niech N = k2m + 1, gdzie k jest nieparzyste i mniejsze od 2m. Jeżeli istnieje liczba całkowita a taka, że
a^{(N-1)/2} \equiv -1 \pmod N

to N jest liczbą pierwsza. Na odwrót, jeśli powyższa kongruencja nie zachodzi oraz

\left(\frac{a}{N}\right)=-1 (zobacz: symbol Jacobiego),

to N jest liczbą złożoną. Jeżeli N = Fn > 3, to powyższy symbol Jakobiego jest zawsze równy -1.

  • Niech n ≥ 3 – n jest liczbą pierwszą Fermata wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby a względnie pierwszej z n, a jest pierwiastkiem pierwotnym mod n wtedy i tylko wtedy, gdy a jest nieresztą kwadratową mod n.
  • Liczba Fermata Fn > 3 jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy można ją przedstawić tylko jednym sposobem jako sumę kwadratów dwóch liczb naturalnych:
F_{n}=\left(2^{2^{n-1}}\right)^{2}+1^{2}

Stąd nowy dowód, że F5 nie jest pierwsza, bowiem F5 = 622642 + 204492. Podobnie, F6 = 40468032562 + 14387937592 i F7 = 163823502215354644792 + 84794438579364025042.

Liczby pierwsze Fermata w geometrii[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Gaussa-Wantzela mówi, że n-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą postaci 2kp1p2...ps, gdzie p1, p2, ...ps są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Tak więc, konstruowalny jest pięciokąt foremny (k=0, s=1, p1=F1) i sześciokąt foremny (k=1, s=1, p1=F0), ale już nie siedmiokąt foremny.