Liczby całkowite

Liczby całkowite – intuicyjnie definiując są to: liczby naturalne dodatnie $\mathbb{N}_{+}=\{1, 2, 3, \dots\}$ oraz liczby przeciwne do nich $\{-1, -2, -3, \dots\}$ a także liczba zero. Liczby całkowite są szczególnym przypadkiem liczb wymiernych i tym samym liczb rzeczywistych, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.

Definicja formalna

Zbiór liczb całkowitych można zdefiniować jako zbiór klas abstrakcji zbioru $\mathbb N \times \mathbb N$ relacji równoważności

$(a,\; b) \sim (c,\; d) \iff a+d = b+c$ .

Intuicyjnie $(a,\; b)$ reprezentuje różnicę $a-b$.

Wówczas dodawanie i mnożenie definiuje się jako:

$[(a,\; b)] + [(c,\; d)] = [(a+c,\; b+d)]$,

$[(a,\; b)] \cdot [(c,\; d)] = [(ac+bd,\; ad+bc)]$,

gdzie $[(a,\;b)]$ oznacza klasę abstrakcji odpowiadającą $(a,\; b)$.

Wtedy $[(a,\; b)]$ oznacza się przez

$\begin{cases} n, & \mbox{dla } a \ge b \\ -n, & \mbox{dla } a < b, \end{cases}$,

gdzie $n = |a-b|\;$.

Zbiór liczb całkowitych oznaczamy w matematyce symbolem $\mathbb Z$ (od niem. Zahlen – liczby). W Polsce w szkołach podstawowych i średnich stosuje się jednak oznaczenie $\mathbf C$, żeby ułatwić skojarzenie z polską nazwą.

Liczność

Zbiór liczb całkowitych $\mathbb Z$ jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych $\mathbb N$, gdyż istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna $f: \mathbb Z \to \mathbb N$ dana wzorem przypisująca każdej liczbie całkowitej dokładnie jedną liczbę naturalną, np.:

$f(x)= \begin{cases} 2x, & \mbox{gdy } x > 0 \\ -2x+1, & \mbox{gdy } x \le 0 \end{cases}$.

Zobacz też

• liczba, liczby całkowite (zapis komputerowy)
• aksjomaty i konstrukcje liczb
• równanie diofantyczne