Liczby całkowite

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczby całkowite – intuicyjnie definiując są to: liczby naturalne dodatnie \mathbb{N}_{+}=\{1, 2, 3, \dots\} oraz liczby przeciwne do nich \{-1, -2, -3, \dots\} a także liczba zero. Liczby całkowite są szczególnym przypadkiem liczb wymiernych i tym samym liczb rzeczywistych, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Zbiór liczb całkowitych można zdefiniować jako zbiór klas abstrakcji zbioru \mathbb N \times \mathbb N relacji równoważności

(a,\; b) \sim (c,\; d) \iff a+d = b+c .

Intuicyjnie (a,\; b) reprezentuje różnicę a-b.

Wówczas dodawanie i mnożenie definiuje się jako:

[(a,\; b)] + [(c,\; d)] = [(a+c,\; b+d)],
[(a,\; b)] \cdot [(c,\; d)] = [(ac+bd,\; ad+bc)],

gdzie [(a,\;b)] oznacza klasę abstrakcji odpowiadającą (a,\; b).

Wtedy [(a,\; b)] oznacza się przez

\begin{cases} n, & \mbox{dla }  a \ge b  \\ -n,  & \mbox{dla } a < b, \end{cases},

gdzie n = |a-b|\; Zbiór liczb całkowitych oznaczamy w matematyce symbolem \mathbb Z (od niem. Zahlen – liczby). W Polsce w szkołach podstawowych i średnich stosuje się jednak oznaczenie \mathbf C, żeby ułatwić skojarzenie z polską nazwą.

Liczność[edytuj | edytuj kod]

Zbiór liczb całkowitych \mathbb Z jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych \mathbb N, gdyż istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna f: \mathbb Z \to \mathbb N dana wzorem przypisująca każdej liczbie całkowitej dokładnie jedną liczbę naturalną, np.:

f(x)= \begin{cases} 2x, & \mbox{gdy } x > 0 \\ -2x+1, & \mbox{gdy } x \le 0 \end{cases}.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]