Liczby całkowite Eisensteina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczby całkowite Eisensteina (nazywane także liczbami Eisensteina-Jacobiego) – liczby postaci a+b\omega, gdzie a i bliczbami całkowitymi,

\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}=e^{\frac{2}{3}\pi i},

oraz i jest jednostką urojoną. \omega jest pierwiastkiem zespolonym równania z^2+z+1=0[1][2]. Zarówno suma, różnica jak i iloczyn liczb Eisensteina również są liczbami Eisensteina, tworzą więc one pierścień. Pierścień ten jest euklidesowy z normą N daną wzorem

N(a+b\omega)= |a + b\omega|^2=a^2-ab+b^2\,[3].

W szczególności, pierścień liczb całkowitych Eisensteina jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu. Na płaszczyźnie zespolonej liczby całkowite Eisensteina są węzłami regularnej sieci trójkątnej (złożonej z trójkątów równobocznych, jak na rysunkach poniżej).

Zbiór liczb pierwszych Eisensteina jest (z dokładnością do mnożenia przez niżej wspomniane elementy odwracalne) sumą dwóch zbiorów:

  1. zbioru liczb a+b\omega, takich że a jest liczbą pierwszą, taką że a \equiv 2 \pmod{3} oraz b = 0,
  2. zbioru liczb a+b\omega, takich że N(a+b\omega) jest taką liczbą pierwszą p, że p \equiv 1 \pmod{3}.
Liczby pierwsze Eisensteina mogą być liczbami całkowitymi, ale wiele z nich ma niezerową część urojoną. Na rysunku liczby pierwsze Eisensteina zostały wyróżnione kolorem zielonym, a elementy odwracalne kolorem czerwonym.

Grupa elementów odwracalnych pierścienia liczb całkowitych Eisensteina jest sześcioelementowa i składa się z liczb:

+1,\, -1,\, +\omega,\, -\omega,\, +\omega^2 = -1 + \omega,\, -\omega^2 = 1 - \omega.[4][5]

Na płaszczyźnie zespolonej można ją zinterpretować jako grupę obrotów dokoła początku układu współrzędnych generowaną przez obrót o 60° (na przykład w kierunku przeciwnym do obrotu wskazówek zegara). Wynika stąd, że liczb pierwszych Eisensteina wystarczy szukać wewnątrz jakiegokolwiek kąta o mierze 60° o wierzchołku w punkcie 0 (np. kąta, którego pierwsze ramię pokrywa się z dodatnią półosią osi odciętych, a drugie ramię przechodzi przez punkt 1 \,+\, \omega.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  1. Liczbami pierwszymi Eisensteina są następujące liczby naturalne: 2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101.
  2. Liczbami pierwszymi Eisensteina nie są liczby 3 ani 7, bo 3 = - (1 \,+\, 2\omega)^{2}, 7 = (3 \,+\, \omega)(2 \,-\, \omega).
  3. Liczbami pierwszymi Eisensteina są liczby 2 + \omega,\, 3 + \omega,\, 4 + \omega,\, 5 + 2\omega.
Małe liczby pierwsze Eisensteina. Te, które leżą na zielonych osiach odpowiadają całkowitym liczbom pierwszym postaci 3n − 1.

Przypisy

  1. Шнирелман, op. cit., s. 29
  2. Ireland, Rosen, op. cit., s. 29
  3. Ireland, Rosen, op. cit., s. 24
  4. Шнирелман, op. cit., s. 29
  5. Ireland, Rosen, op. cit., s. 30

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. John Horton Conway, Richard K. Guy: The Book of Numbers. Springer Verlag, 1996, s. 221-225. ISBN 038797993X, 9780387979939.
  2. Шнирелман Л. Г.: Простые числа. Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1940, s. 29-36.
  3. Ireland K., Rosen M.: A Classical Introduction to Modern Number Theory. New York Heidelberg Berlin: Springer Verlag, 1982, s. 24-28.
  4. Боревич З. И., Шафаревич И. Р.: Teopия чисeл. Наука, 1985, s. 149-190.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]