Liczby całkowite Gaussa

Liczby pierwsze Gaussa mogą być liczbami całkowitymi, ale wiele z nich ma niezerową część urojoną. Na rysunku liczby pierwsze Gaussa zostały wyróżnione kolorem zielonym.

Liczby całkowite Gaussa (liczby całkowite zespolone) to liczby zespolone, których części rzeczywiste i części urojone są liczbami całkowitymi. Formalnie, zbiór liczb całkowitych Gaussa definiuje się jako $\{a+bi: a,b\in \mathbb Z \wedge i^2=-1\}$.

Wraz ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem liczb zespolonych liczby całkowite Gaussa tworzą, podobnie jak liczby całkowite, dziedzinę całkowitości, a nawet pierścień Euklidesa, zazwyczaj oznaczany przez $\mathbb Z[i]$. $\mathbb Z[i]$ nie jest natomiast pierścieniem uporządkowanym, podczas gdy $\mathbb Z$ jest takim pierścieniem.

Elementami odwracalnymi pierścienia $\mathbb Z[i]$ są: $1,\, -1,\, i,\, -i$. Mnożenie przez element odwracalny nie zmienia modułu liczby całkowitej Gaussa. Elementy odwracalne z działaniem mnożenia tworzą grupę czteroelementową izomorficzną grupie cyklicznej czteroelementowej. Generatorami tej grupy są $- i$ oraz $+ i$. Grupa ta działa na $\mathbb Z[i]$ i można ja interpretować geometrycznie jako grupę obrotów generowaną przez obrót dokoła początku układu współrzędnych o kąt prosty (obrót ten odpowiada mnożeniu przez $+ i$). Poza orbitą jednoelementową {0} orbity tego działania są czteroelementowe, po jednym elemencie w każdej z ćwiartek układu współrzędnych, a dokładniej w zbiorach

$\{ x\, +\, yi: x > 0, y \geqslant 0 \}$ (I ćwiartka), $\{ x\, +\, yi: x \leqslant 0, y > 0 \}$ (II ćwiartka),

$\{ x\, +\, yi: x < 0, y \leqslant 0 \}$ (III ćwiartka), $\{ x\, +\, yi: x \geqslant 0, y < 0 \}$ (IV ćwiartka).

Elementy pierwsze pierścienia $\mathbb Z[i]$ są czasem nazywane liczbami pierwszymi Gaussa. Mają one głęboki związek z liczbami pierwszymi pierścienia $\mathbb Z$ oraz ze starym pytaniem Diofantosa o liczby całkowite dodatnie, które można przedstawić w postaci sumy kwadratów liczb całkowitych. Liczby pierwsze w $z = x + yi \in \mathbb Z[i]$ można opisać w następujący sposób:

1. Jeśli kwadrat modułu $|z|^2 = x^2 + y^2$ liczby z jest w $\mathbb Z$ liczbą pierwszą postaci 4n + 1 (gdzie $n \in \mathbb Z_+$) , to z jest liczbą pierwszą w $\mathbb Z[i]$. Każda liczba pierwsza w $\mathbb Z_+$ postaci 4n + 1 rozkłada się na iloczyn dwóch liczb pierwszych Gaussa.
2. Liczba 2 jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej $1 + i \in \mathbb Z[i]$.
3. Liczba pierwsza w $\mathbb Z$ postaci 4n + 3 jest liczbą pierwszą w $\mathbb Z[i]$.

Każda liczba pierwsza Gaussa jest jednego z trzech powyższych typów z dokładnością do mnożenia przez element odwracalny ($1,\, -1,\, i,\, -i$).

Przykłady

• Liczby 3, 7, 11, 19 są liczbami pierwszymi Gaussa.
• Liczbie pierwszej 5 odpowiadają liczby pierwsze Gaussa $1 \,+\, 2i,\, 1 \,-\, 2i$.
• Liczbie pierwszej 13 odpowiadają liczby pierwsze Gaussa $2\, + \,3i,\, 2 \,-\, 3i$.
• Liczbie pierwszej 17 odpowiadają liczby pierwsze Gaussa $1 \,+\, 4i, \,1\, -\, 4i$.
• Ponieważ moduł iloczynu liczb zespolonych jest równy iloczynowi modułów tych liczb, więc jeśli $u \,=\, a \,+\, bi$ i $v \,=\, c \,+\, di$, to

$(a^2 + b^2) \cdot (c^2 + d^2) = |u|^2 \cdot |v|^2 = |uv|^2 = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2$

czyli

$(a^2 + b^2) \cdot (c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2$

Zobacz też

• liczby całkowite Eisensteina.

Bibliografia

1. Gauss C. F.: Arithmetische Untersuchungen. New York-Chelsea: 1965.
2. Wright E. M.: An Introduction of the Theory of Numbers. Wyd. 4. New York: Oxford Uniwersity Press, 1960.
3. Шнирелман Л. Г.: Простые числа. Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1940.
4. Ireland K., Rosen M.: A Classical Introduction to Modern Number Theory. New York Heidelberg Berlin: Springer Verlag, 1982.