Liczby dualne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczby dualne - w algebrze wyrażenia postaci z=a+b\epsilon, gdzie a,b \in \mathbb{R} oraz \epsilon^2=0 (\epsilon jest nilpotentem).

Liczby dualne można ściśle zdefiniować jako zbiór par liczb rzeczywistych tj. \mathbb{R}\times \mathbb{R} z następującymi dwoma działaniami:

(a,b)\oplus(c,d)=(a+c,b+d)
(a,b)\otimes(c,d)= (ac,ad+bc).

Para (1,0) jest elementem neutralnym mnożenia \otimes oraz (0,1)^2 = (0,0).

Jest to więc pierścień przemienny z jedynką i z dzielnikami zera[1]. Dzielniki zera mają tutaj postać  (0,b),\quad b \neq 0 bowiem

 (0,b)\otimes(0,b)=(0,0).

Ponieważ (1,0) i (0,1) są niewspółmierne, więc analogicznie do liczb zespolonych otrzymać można następującą postać kanoniczną:

 (a,b) = (a,0)+(0,b) = a +b\varepsilon gdzie \varepsilon=(0,1).

Dla liczby dualnej niebędącej dzielnikiem zera tj.  c+d\varepsilon,\quad c \neq 0 istnieje odwrotność. Jej znajdowanie trochę przypomina proces znajdowania odwrotności liczb zespolonych - ułamek rozszerza się przez liczbę sprzężoną do mianownika:

(c+d\varepsilon)^{-1}
= \frac{1}{c+d\varepsilon}
= \frac{c-d\varepsilon} {(c+d\varepsilon)(c-d\varepsilon)}
= \frac{c-d\varepsilon}{c^2+cd\varepsilon-cd\varepsilon-d^2\varepsilon^2}
= {c-d\varepsilon \over c^2+0}
= \frac{1}{c}-\frac{d}{c^2}\varepsilon

Pierścień liczb dualnych można zanurzyć izomorficznie w pierścieniu macierzy stopnia 2:

a + b\epsilon \leftrightarrow \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}.

w szczególności

\epsilon \leftrightarrow \begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix}.

Różniczkowanie[edytuj | edytuj kod]

Mając dany wielomian o współczynnikach rzeczywistych P(x) = p0+p1x+p2x2+...+pnxn, można rozszerzyć jego dziedzinę do liczb dualnych. Łatwo dowieść, że P(a+bε) = P(a)+bP′(a)ε, gdzie P′ jest pochodną P.

Ta zależność pozwala określić elementarne funkcje przestępne na liczbach dualnych: f(a+bε) =f(a)+bf′(a)ε.

Przypisy

  1. z tego względu określenie "liczby dualne" jest nieco mylące - w algebrze najczęściej liczbami określa się jakieś podzbiory (podciała) ciała liczb zespolonych

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]