Liczby naturalne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Liczby naturalneliczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. Według finitystów, zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki, są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka - słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby całkowite stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka.

To czy zero jest liczbą naturalną jest kwestią umowy. W matematyce nie przyjęto ogólnie żadnej konwencji dotyczącej przynależności zera lub jej braku do liczb naturalnych. Interesujące, że z punktu widzenia matematyki obie definicje można uważać w gruncie rzeczy za równoważne. O konkretnym stanowisku decydują często takie sytuacje jak: uproszczenie zapisu pewnych symboli, ograniczenie przypadków szczególnych itp.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Pierwsze systematyczne, abstrakcyjne studia nad liczbami przypisuje się starożytnym Grekom: Pitagorasowi, Euklidesowi i Archimedesowi. Poza Grecją niezależne rozważania prowadzono w rejonie Indii, Chin i Ameryki Środkowej.

Pierwszym krokiem do wyabstrahowania liczb naturalnych było stworzenie sposobu ich zapisu. W Babilonii stosowano na przykład cyfry o wartościach od 1 do 10, gdzie o wartości liczby decydowała pozycja kolejnych cyfr w szeregu. W starożytnym Egipcie stosowano odpowiednie hieroglify o wartościach 1, 10 i kolejnych potęgach 10, aż do miliona.

Choć wydawałoby się, że liczby naturalne są podstawowym pojęciem matematycznym i ich definicja była jedną z wcześniejszych, to jednak jest inaczej. Przykładowo bardziej skomplikowane liczby rzeczywiste (używane już w starożytności przez Eudoksosa, ok. 408 p.n.e. – ok. 355 p.n.e.) zostały zdefiniowane formalnie przez Dedekinda w połowie XIX w, podczas gdy definicję liczb naturalnych podał Giuseppe Peano pod koniec XIX w.

Zero[edytuj | edytuj kod]

Pierwotnie zero było wykorzystywane jako pomoc w oznaczeniu "pustego miejsca". Już w VII w. p.n.e. Babilończycy stosowali zero jako cyfrę w zapisie pozycyjnym, ale nigdy nie występowało ono samodzielnie jako liczba. W cywilizacji Majów zero było znane jako liczba już w I w. p.n.e. (być może znali je już w IV wieku p.n.e. wchłonięci przez Majów Olmekowie). W kulturze zachodniej zero, jako oddzielna, pełnoprawna wartość, pojawiło się znacznie później.

W roku 130 zera używał Klaudiusz Ptolemeusz. Współczesne pojęcie zera przypisuje się Hindusowi Brahmagupcie, pierwsze wzmianki pochodzą z roku 628. Zero stosowano niekonsekwentnie również w średniowieczu, nie miało ono jednak swojej reprezentacji w cyfrach rzymskich - stosowano łacińskie słowo nullae.

Oznaczenia[edytuj | edytuj kod]

Dla liczb naturalnych stosuje się często zarówno oznaczenie \mathbb{N}, jak i \mathbb{Z}_{+}, rzadziej inne.[1]

W matematyce określenie "liczby naturalne" oznacza na ogół liczby całkowite dodatnie. Począwszy od wprowadzenia w teorii mnogości modelu von Neumanna liczb naturalnych niektórzy autorzy dołączają do zbioru liczb naturalnych liczbę zero, której odpowiednikiem w tym modelu był zbiór pusty  \empty .[2]

W algebrze zbiór liczb naturalnych (bez dołączonego zera) jest algebrą z dwiema operacjami 2-arnymi (mnożenie i dodawanie) i jedną operacją 0-arną (jedynka). Jest półgrupą ze względu na dodawanie i półgrupą z jedynką (czyli monoidem) ze wzgledu na mnożenie. W takim przypadku stosuje się dla tych struktur oznaczenie \mathbb{N}, jako nienawiązujące do pierścienia liczb całkowitych \mathbb{Z} - algebry znacznie bogatszej.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Postulaty Peano[edytuj | edytuj kod]

Podanie ścisłej definicji zbioru liczb naturalnych, choć proste, zajęło matematykom wiele czasu. Giuseppe Peano zaproponował następujące warunki (tzw. postulaty lub aksjomaty Peano), które musi spełniać dowolna konstrukcja zbioru liczb naturalnych:

  • 0 jest liczbą naturalną;
  • Każda liczba naturalna ma swój następnik, oznaczany S(a);
  • 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej;
  • Różne liczby naturalne mają różne następniki:  a \not = b \Rightarrow S(a) \not = S(b);
  • Jeśli zero ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej o tej własności również ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność (zasada indukcji matematycznej).

Z ostatniej własności wynika, że każda liczba naturalna albo jest zerem albo następnikiem pewnej liczby naturalnej.

Gdyby w powyższej wersji aksjomatyki Peano zamienić 0 przez dowolny inny symbol (różny od S), to zmiana byłaby czysto formalna, nic istotnie nie zmieniłoby się. W szczególności można zamiast 0 napisać 1. Zauważmy, że aksjomaty Peano nic nie mówią o operacjach arytmetycznych takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, itd, ani też nie wspominają uporządkowania (relacji \leqslant). Definiują tylko operację następnika, S. Pozostałe pojęcia trzeba dopiero zdefiniować w terminach S. Okazuje się to możliwe. Poniżej, dwa warunki definiują dodawanie, dla którego 0 gra rolę elementu neutralnego (pierwszy warunek w definicji: a+0=a\;).

Dodawanie definiujemy jako operację spełniającą następujące warunki:

  • a+0=a\;
  • a+S(b)=S(a)+b\;

To wystarczy do wyliczenia sumy liczb np. obliczając 2+2 (dwa oznacza skrótowy zapis liczby S(S(0))), kolejno otrzymujemy:

  • 2 + 2
  • 2 + S(1) bo 2 jest następnikiem 1
  • S(2) + 1 z definicji
  • 3 + 1 następnik 2 oznaczamy symbolem 3
  • 3 + S(0) 1 jest następnikiem 0
  • S(3) + 0 = S(3) z definicji
  • S(3) = 4 następnik 3 oznaczamy symbolem 4

Podobnie definiujemy mnożenie jako operację spełniającą warunki:

  • a \cdot 0 = 0
  • a \cdot S(b) = (a \cdot b) + a

W wersji liczb naturalnych wykluczającej 0, pierwszy aksjomat mnożenia (a*0=0) byłby zastąpiony przez warunek: a*1 = a.

Powyższe postulaty mówią jakie własności mają liczby naturalne, z definicji. W ramach teorii mnogości zbiór liczb naturalnych, spełniający aksjomaty Peano, można skonstruować na wiele sposobów. Szczególnie popularna jest konstrukcja von Neumanna (patrz niżej).

Konstrukcja Fregego-Russella[edytuj | edytuj kod]

Pierwsza konstrukcja liczb naturalnych, autorstwa Gottloba Fregego i niezależnie Bertranda Russella[3], definiuje je po prostu jako liczności (ściślej: moce) zbiorów skończonych.

Model von Neumanna[edytuj | edytuj kod]

Jest to przykład eleganckiej konstrukcji zbioru liczb naturalnych w ramach teorii mnogości, podanej przez amerykańskiego matematyka John von Neumanna - nie jedynej, ale jednej z ważniejszych:

Niech X - zbiór induktywny.

Niech  P := \{Y \subset X: Y\text{ -- induktywny}\}. Przecięcie  \mathbb{N} := \cap P  jest zbiorem induktywnym (dowód przy aksjomacie nieskończoności), zawartym w każdym innym induktywnym:

rzeczywiście, niech Z - zbiór induktywny. To \mathbb{N} \cap Z też jest zbiorem induktywnym (jako przecięcie zbiorów induktywnych), zawartym w X\,, a więc zawierającym \mathbb{N}, a więc równym \mathbb{N} – co kończy dowód.

Korzystając z induktywności \mathbb{N}:

  • \empty \in \mathbb{N} - oznaczamy jako 0;
  • S(\empty) = \{\empty\} - oznaczamy jako 1;
  • S(\{\empty\}) = \{\empty ,\{\empty\}\} - oznaczamy jako 2;

i tak dalej.

Tak skonstruowany zbiór liczb naturalnych spełnia aksjomaty Peano.

Tak więc w modelu von Neumanna (i na ogół w teorii mnogości) za każdą liczbę naturalną uważamy zbiór składający się ze wszystkich poprzednich liczb naturalnych, np. 2 = {0,1}, 5 = {0,1,2,3,4} itd.

Podstawowe własności[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnych liczb naturalnych k, m, n:

  • m < n \Rightarrow m \leqslant n;
  • \neg(n < n);
  • m \leqslant n \wedge \neg(m = n) \Rightarrow m<n;
  • S(m) = S(n) \Rightarrow m = n;
  • n \leqslant k \leqslant S(n) \Rightarrow k=n \vee k=S(n);
  • m = n \vee n < m \vee m < n.

W każdym z poniższych zbiorów można wyróżnić podzbiór, który jest izomorficzny ze zbiorem liczb naturalnych:

To znaczy: pewne podzbiory tych zbiorów, z odziedziczonymi działaniami dodawania i mnożenia, spełniają aksjomaty Peano.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Niestandardowe oznaczenia występują na przykład w klasycznej monografii "Enumerative Combinatorics", w której autor, Richard P. Stanley, zbiór dodatnich liczb całkowitych oznacza przez P (od angielskiego "positive"), oraz nieujemnych – przez N.
  2. Na przykład w "The Riemann Zeta-Function, Theory and Applications", Aleksandara Ivića (© 1985):
    NOTATION
    k,l,m,n           natural numbers (positive integers)
    albo w "O rozkładach liczb wymiernych na ułamki proste", Wacława Sierpińskiego:
    ... o naturalnym (czyli całkowitym dodatnim) mianowniku, a więc liczby postaci 1/n, gdzie n = 1, 2, 3, ...
  3. Russell ogłosił ją w swojej Principia Mathematica