Liczby niewymierne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Liczby niewymierneliczby rzeczywiste nie będące liczbami wymiernymi, czyli takie liczby rzeczywiste, których nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb: liczby całkowitej przez liczbę całkowitą różną od zera.

Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Liczby niewymierne odkryli Pitagorejczycy, w związku z twierdzeniem Pitagorasa. Zauważyli oni mianowicie, że przekątna kwadratu o boku 1 jest niewspółmierna z bokiem, co właśnie oznacza niewymierność liczby \sqrt{2}. Ogólnie pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby naturalnej jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba ta jest kwadratem liczby naturalnej. Zatem na przykład \sqrt{2} oraz \sqrt{99992} są liczbami niewymiernymi (zobacz dowód niewymierności pierwiastka z 2).

Inne przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Każda liczba przestępna (np. π) jest niewymierna. Innym przykładem liczby niewymiernej jest 0,123456789101112131415... (zapisy dziesiętne kolejnych liczb naturalnych).
  • Łatwo udowodnić niewymierność wielu logarytmów, np. \log_{2} 3 jest niewymierny:
    Dowód nie wprost. Gdyby dla pewnych liczb całkowitych dodatnich m oraz n zachodziła równość \log_{2} 3=\frac{m}{n}, to mielibyśmy 2^{\frac{m}{n}} = 3, i wobec tego także 2^{m}=3^{n} – ale ta równość jest fałszywa, gdyż lewa strona jest parzysta, a prawa nieparzysta, zatem \log_23 nie jest wymierny.
  • Podobnie \log_{10} 2 jest niewymierny.

Ułamki łańcuchowe[edytuj | edytuj kod]

Każdą liczbę niewymierną można rozwinąć w nieskończony ułamek łańcuchowy; skończone ułamki łańcuchowe przedstawiają liczby wymierne.

Zbiór liczb niewymiernych[edytuj | edytuj kod]

Jako podprzestrzeń linii prostej \mathbb R, zbiór liczb niewymiernych jest homeomorficzny z przestrzenią Baire'a, czyli ze zbiorem wszystkich funkcji f: \mathbb N \to \mathbb N.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]