Liczby podobieństwa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczby podobieństwa, zwane też liczbami kryterialnymi – bezwymiarowe współczynniki stosowane w równaniach zachowania, opisujące układy fizyczne i sprowadzone do postaci bezwymiarowej, definiowane zwykle jako stosunek łatwo mierzalnych wielkości wymiarowych lub jako stosunek wyrazów opisujących dany proces w równaniach (np. liczba Reynoldsa jest stosunkiem członu adwekcyjnego do członu dyfuzyjnego w równaniu Naviera-Stokesa). Służą one zwykle do upraszczania rachunków fizycznych i inżynieryjnych, a ich wartość pozwala często na łatwe charakteryzowanie natury opisywanych przez nie zjawisk (jeżeli dwa układy posiadają taką samą wartość liczby bezwymiarowej, opisującej konkretny układ to znaczy, że układy te są dynamicznie podobne).

Rozwiązania równań mogą być stosowane w innych układach, na przykład podczas badań układu modelowego i następnie przenoszone do układu rzeczywistego. Pozwala to na wykonywanie badań w mniejszej skali, przy niższych temperaturach i ciśnieniach.

Wykorzystywane są podczas badań modeli w tunelach aerodynamicznych.

Stosowane są także przy modelowaniu, zastępując jedne zjawiska fizyczne całkiem innymi. Układy rur, w których chcemy poznać przepływy gazów lub cieczy, mogą być zastępowane przez działające podobnie układy elektryczne. Istnieją też podobieństwa układów mechanicznych i elektrycznych.

Stosowanie liczb podobieństwa umożliwia uproszczenie i obniżenie kosztów badań.

Wprowadzenie[edytuj | edytuj kod]

Wykonywanie doświadczeń w skali naturalnej jest zazwyczaj kosztowne. Dlatego najczęściej wykonuje się modele urządzeń. Wyniki z modeli mogą być przeniesione na układ rzeczywisty tylko w oparciu o teorię podobieństwa zjawisk fizycznych. Teorię tą można stosować tylko do zjawisk tego samego rodzaju opisanych tymi samymi równaniami. Koniecznym warunkiem jest podobieństwo geometryczne.

W analizie zjawisk podobnych można porównywać ze sobą tylko wielkości jednorodne w odpowiadających sobie punktach i chwilach.

W układach geometrycznie podobnych mamy następujące proporcje (znak ‘ (apostrof) to oznaczenie dla wielkości zmierzonej na modelu, brak apostrofu to wielkość zmierzona dla układu rzeczywistego):

\frac{l'}{l}=\alpha_l, 
\frac{A'}{A}=\alpha_A=\alpha_{l}^2, 
\frac{V'}{V}=\alpha_V=\alpha_{l}^3,
\frac{t'}{t}=\alpha_t,
\frac{\phi'}{\phi}=\alpha_{\phi},

gdzie: l to odległość, A to pole, V to objętość, t to czas, a φ to dowolna wielkość fizyczna, α to stała podobieństwa.

Możemy (przykładowo) podobnie napisać trzy grupy (od lewej) kinematyczną, dynamiczną i cieplnaą:

\frac{v'}{v}=\alpha_v,
\frac{g'}{g}=\alpha_g
\qquad
\frac{\rho'}{\rho}=\alpha_\rho,
\frac{\mu'}{\mu}=\alpha_\mu,
\frac{F'}{F}=\alpha_F
\qquad
\frac{T'}{T}=\alpha_T,
\frac{\lambda'}{\lambda}=\alpha_\lambda,
\frac{C_w^'}{C_w}=\alpha_{C_w}

gdzie: v to prędkość, g to przyspieszenie ziemskie, ρ to gęstość, μ to lepkość kinematyczna, F siła, T temperatura, λ wsp. przewodzenia ciepła, Cw to ciepło właściwe.

Dla zjawisk złożonych stałe podobieństwa α nie mogą być wybierane w dowolny sposób, a są ze sobą powiązane, np.:

v=\frac{l}{t},v'=\frac{l'}{t'}
\quad \Rightarrow \quad
\alpha_v=\frac{v'}{v}=\frac{l'}{t'}/\frac{l}{t}=\frac{l'}{l}/\frac{t'}{t}=\frac{\alpha_l}{\alpha_t}
\quad \Rightarrow \quad
\frac{\alpha_t\alpha_v}{\alpha_l}=1

zatem tylko dwie wielkości (z trzech: \alpha_t,\alpha_v,\alpha_l) są niezależne (tzn. wartość jednej zawsze zdeterminowana jest przez wartości dwóch pozostałych). Z powyższego wynika również że dla układu rzeczywistego i modelowego zachodzi:

\frac{tv}{l}=\frac{t'v'}{l'}=idem

gdzie: idem oznacza wartość identyczną w układzie rzeczywistym i modelu.

To oznacza że w układach podobnych (jak powyżej w rzeczywistym i modelowym) istnieją pewne wielkości które zachowują tą samą wartość (np. powyżej: tv/l). Wielkości te są bezwymiarowe (przykładowo dla \frac{tv}{l} jednostka "skraca się" tj.: [\frac{s\frac{m}{s}}{m}=1] ) i noszą nazwę Liczb Podobieństwa. Zazwyczaj są one nazywane od dwóch pierwszych liter nazwisk zasłużonych naukowców pracujących w danej dziedzinie nauki.

Przykład na wyprowadzenie liczb S, Fr, Eu, Re oraz Ga, Ar, Gr[edytuj | edytuj kod]

Zakładamy, że mamy dwa podobne do siebie układy (rzeczywisty i jego model), w których ruch nieściśliwego płynu lepkiego jest zapisany za pomocą równań Naviera-Stokesa i ciągłości:

Układz rzeczywisy Układ modelowy
\rho\partial_tv +\rho v\cdot\nabla v = -\nabla p + \mu \Delta v +\rho g \rho'\partial_{t'}v' +\rho' v'\cdot\nabla' v' = -\nabla' p' + \mu' \Delta' v' +\rho' g'
\nabla\cdot v=0 \nabla'\cdot v'=0
definicja operatorów (dla kart. ukł. wsp.): definicja operatorów (dla kart. ukł. wsp.):
\nabla = [\partial_x,\partial_y,\partial_z]^T \nabla' = [\partial_{x'},\partial_{y'},\partial_{z'}]^T
\Delta= \partial_{xx}+\partial_{yy}+\partial_{zz} \Delta'= \partial_{x'x'}+\partial_{y'y'}+\partial_{z'z'}

gdzie: \partial_t=\frac{\partial}{\partial t} czyli jest to pochodna cząąstkowa po czasie (podobny zapis dotyczy pochodnych po zmiennych przestrzennych x,y,z np. \partial_{xx}=\frac{\partial^2}{\partial x^2}), v to wektor prędkości, g to wektor przyspieszenia, \rho to gęstość, \mu to współczynnik lepkości kinematycznej, p to ciśnienie.

Stałe podobieństwa \alpha zdefiniowane zostały tak (wymnożono je od razu przez wartości z układu rzeczywistego co przyda się przy dalszym podstawianiu):

x'=\alpha_lx v_x^'=\alpha_vv_x \rho^'=\alpha_\rho\rho \mu'=\alpha_\mu\mu
y'=\alpha_ly v_y^'=\alpha_vv_y t^'=\alpha_tt g'=\alpha_gg
z'=\alpha_lz v_z^'=\alpha_vv_z p^'=\alpha_pp

Podstawmy zalezności z powyższej tabeli to do równań układu modelowego - przykładowo podstawienie dla członu z pochodną po czasie daje: \rho'\partial_{t'}v' = \rho'\frac{\partial v'}{\partial t'} = \alpha_\rho\rho \frac{\partial \alpha_vv}{\partial \alpha_tt} = \frac{\alpha_\rho\alpha_v}{\alpha_t}\rho\frac{\partial v}{\partial t}=\frac{\alpha_\rho\alpha_v}{\alpha_t}\rho\partial_{t}v

Robiąc to dla pozostałych członów równań Naviera-Stokesa otrzymamy:

\frac{\alpha_\rho\alpha_v}{\alpha_t}\rho\partial_tv +
\frac{\alpha_\rho\alpha_v^2}{\alpha_l}\rho v\cdot\nabla v = - \frac{\alpha_p}{\alpha_l}\nabla p +
\frac{\alpha_\mu\alpha_v}{\alpha_l^2}\mu\Delta v +
\alpha_\rho \alpha_g\rho g

i dla równania ciągłości:

\frac{\alpha_v}{\alpha_l}\nabla\cdot v=0

Z podobieństwa obydwu zjawisk wynika że równanie rzeczywiste i modelowe po podstawieniu zmiennych rzeczywistych, powinny być identyczne. Jest to możliwe w sytuacji gdy jedno z nich zostało pomnożone przez skalar. Zatem wspólczynniki zawierajace stałe podobieństwa, przy poszczególnych wyrazach równań Naviera-Stokesa, musza dawać wartość właśnie tego skalaru, zatem musza być sobie równe tj.:

\frac{\alpha_\rho\alpha_v}{\alpha_t}=
\frac{\alpha_\rho\alpha_v^2}{\alpha_l}=
\frac{\alpha_p}{\alpha_l} =
\frac{\alpha_\mu\alpha_v}{\alpha_l^2}=
\alpha_\rho \alpha_g

Porównując je wybranymi parami, stosując celowe przekształcenia, otrzymamy:

Para Zależność idem Nazwa
\frac{\alpha_\rho\alpha_v^2}{\alpha_l} =
\frac{\alpha_\rho\alpha_v}{\alpha_t} \frac{\alpha_v\alpha_t}{\alpha_l}=1 \frac{vt}{l}=\frac{v't'}{l'}=S Liczba Strouhala
\frac{\alpha_\rho\alpha_v^2}{\alpha_l} =
\alpha_\rho\alpha_g \frac{\alpha_{v}^2}{\alpha_g\alpha_l}=1 \frac{v^2}{gl}=\frac{v'^2}{g'l'}=Fr Liczba Frouda
\frac{\alpha_\rho\alpha_v^2}{\alpha_l} =
\frac{\alpha_p}{\alpha_l} \frac{\alpha_p}{\alpha_\rho\alpha_{v}^2}=1 \frac{p}{\rho v^2}=\frac{p'}{\rho' v'^2}=Eu Liczba Eulera
\frac{\alpha_\rho\alpha_v^2}{\alpha_l} =
\frac{\alpha_\mu\alpha_v}{\alpha_l^2} \frac{\alpha_\rho\alpha_{v}\alpha_l}{\alpha_\mu}=1 \frac{\rho vl}{\mu}=\frac{\rho' v'l'}{\mu'}= Re Liczba Reynoldsa

Liczbę Eulera można zapisać inaczej zastępując p przez \Delta p.

Warunek podobieństwa nieustalonych przepływów płynu lepkiego nieściśliwego w obu układach wymaga aby liczby podobieństwa Sh,Fr,Eu i Re miały jedne i te same wartości w odpowiadających sobie punktach układu.

Czasami wygodnie jest zmienić postać liczb podobieństwa – np. przy analizie ruchu wywołanego przez różnice gęstości poszczególnych elementów lepiej użyć liczby Galileusza:

Ga=Re^2/Fr=\frac{g\rho^2l^3}{\mu^2}=\frac{gl^3}{\nu^2}

gdzie \nu=\mu/\rho to współczynnik lepkości kinematycznej.

Liczbę Archimedesa można otrzymać przez:

Ar=Ga\frac{\rho - \rho_0}{\rho}

gdzie \rho \text{ i } \rho_0 to gęstości w dwóch puntkach.

Jeżeli różnicę gęstości wyrazimy jako iloczyn spółczynnika ekspansji termicznej i różnicy temperatur tj.: \frac{\rho - \rho_0}{\rho} = \beta\Delta T to otrzymamy liczbę Grashofa:

Gr=Ga\beta\Delta T=\frac{\beta gl^2}{\nu^2}\Delta T

Przykład wyprowadzenia liczb S, Fo, Pe, Nu, Pr, Ra[edytuj | edytuj kod]

Weźmy równanie energii (Fouriera-Kirhoffa) oraz równanie stanowiące jego warunek brzegowy (czyli zestawienie równań przenikania i przewodzenia ciepła) dla układu rzeczywistego i modelu:

Układ rzeczywisty Układ modelowy
\partial_t T+v\cdot \nabla T=a\Delta T \partial_{t'} T'+v'\cdot \nabla' T'=a'\Delta' T'
\frac{\alpha}{\lambda}=-\frac{\partial T}{\partial y}\frac{1}{T_w-T_f} \frac{\alpha'}{\lambda'}=-\frac{\partial T'}{\partial y'}\frac{1}{T_w'-T_f'}
definicja operatorów (dla kart. ukł. wsp.): definicja operatorów (dla kart. ukł. wsp.):
\nabla = [\partial_x,\partial_y,\partial_z]^T \nabla' = [\partial_{x'},\partial_{y'},\partial_{z'}]^T
\Delta= \partial_{xx}+\partial_{yy}+\partial_{zz} \Delta'= \partial_{x'x'}+\partial_{y'y'}+\partial_{z'z'}

gdzie: T to temperatura, Tw to temperatura ścianki, Tf to temperatura płynu w nieskończoności,\alpha to wsp. przenikania ciepła, a to wsp. dyfuzji ciepła, \lambda to wsp. przewodności cieplnej.

Stałe podobieństwa \alpha zdefiniowane zostały tak (wymnożono je od razu przez wartości z układu rzeczywistego co przyda się przy dalszym podstawianiu):

x'=\alpha_lx v_x^'=\alpha_vv_x \alpha'=\alpha_\alpha\alpha T^'=\alpha_TT
y'=\alpha_ly v_y^'=\alpha_vv_y a'=\alpha_aa t^'=\alpha_tt
z'=\alpha_lz v_z^'=\alpha_vv_z \lambda'=\alpha_\lambda\lambda

Podstawiając zalezności z powyższej tabeli to do równań układu modelowego otrzymujemy:

\frac{\alpha_T}{\alpha_t}\frac{\partial T}{\partial t} + \frac{\alpha_v\alpha_T}{\alpha_l}v\cdot \nabla T= \frac{\alpha_a\alpha_T}{\alpha_l^2}a\Delta T

oraz

\frac{\alpha_\alpha}{\alpha_\lambda}\frac{\alpha}{\lambda}=-\frac{1}{\alpha_l}\frac{\partial T}{\partial y}\frac{1}{T_w-T_f}

Porównując je wybranymi parami, stosując celowe przekształcenia, otrzymamy:

Para Zależność idem Nazwa
\frac{\alpha_T}{\alpha_t} =
\frac{\alpha_v\alpha_T}{\alpha_l} \frac{\alpha_v\alpha_t}{\alpha_l}=1 \frac{vt}{l}=\frac{v't'}{l'}=S Liczba Strouhala
\frac{\alpha_T}{\alpha_t} =
\frac{\alpha_a\alpha_T}{\alpha_l^2} \frac{\alpha_a\alpha_t}{\alpha_{l}^2}=1 \frac{at}{l^2}=\frac{a't'}{l'^2}=Fo Liczba Fouriera
\frac{\alpha_a\alpha_T}{\alpha_l^2} =
\frac{\alpha_v\alpha_T}{\alpha_l} \frac{\alpha_v\alpha_l}{\alpha_a}=1 \frac{vl}{a}=\frac{v'l'}{a'}=Pe Liczba Pecleta
\frac{\alpha_\alpha}{\alpha_\lambda} =
\frac{1}{\alpha_l} \frac{\alpha_\alpha\alpha_l}{\alpha_\lambda}=1 \frac{\alpha l}{\lambda}=\frac{\alpha'l'}{\lambda'}= Nu Liczba Nusselta

Liczba Prandtla dana jest jako:

Pr= Pe/Re=\frac{\mu}{a\rho}=\frac{\nu}{a}

Liczba Rayleigha jest dana jako:

Ra=GrPr

Najczęściej stosowanie liczby podobieństwa[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Donald Fenna: Jednostki miar Leksykon. Warszawa: Świat Książki, 2004. ISBN 83-7391-320-3.