Liczby zespolone

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną $i$, tj. pierwiastek wielomianu $x^2+1$ (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie $i^2 = -1$). Każda liczba zespolona $z$ może być zapisana w postaci $z=a + bi$, gdzie $a, b$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby $z$.

Postać algebraiczna (kanoniczna)

Liczby zespolone mogą być przedstawione jako współrzędne wektora na płaszczyźnie zespolonej

Każdą liczbę zespoloną $z$ można zapisać w postaci

$z=a+bi$,

gdzie $a$ i $b$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi oraz $i$ jest tzw. jednostką urojoną, tj. $i$ jest jednym z dwóch elementów zbioru liczb zespolonych, spełniającym warunek $i^2=-1$ (drugim elementem jest $-i$). Spotyka się czasami zapis $i=\sqrt{-1}$, który nie jest formalnie poprawny ze względu na fakt, że również $(-i)^2=-1$, jest on jednak uznawany za pewien skrót myślowy i powszechnie akceptowany.

Postać $z=a+bi$ nazywana jest postacią algebraiczną (albo kanoniczną) liczby zespolonej $z$.

Dla liczby $z=a+bi$ definiuje się jej

• część rzeczywistą (łac. pars realis) jako $\mathrm{re}\;z = a$ (inne oznaczenia: $\Re z,\, \operatorname{Re}\, z$),
• część urojoną (łac. pars imaginaria) jako $\mathrm{im}\;z = b$ (inne oznaczenia: $\Im z,\, \operatorname{Im}\, z$).

Przykładowo liczba $7 - 5i$ jest liczbą zespoloną, której część rzeczywista wynosi $7$, a część urojona $-5$. Liczby rzeczywiste są utożsamiane z liczbami zespolonymi o części urojonej równej $0$.

Liczby postaci $z = 0 + bi$ nazywa się liczbami urojonymi.

Zapis alternatywny

W zastosowaniach fizycznych, elektrycznych, elektrotechnicznych itp. zapis $z = a + bi\;$ może okazać się mylący z powodu wykorzystywania w tych dziedzinach litery $i\;$ do innych celów, np. chwilowego natężenia prądu elektrycznego. Dlatego też stosuje się zapis niepowodujący podobnych kłopotów, mianowicie $z = a + jb$, w którym to $j$ oznacza jednostkę urojoną.

Wykres funkcji
$f(x)=\tfrac{(x^2-1)(x-2-i)^2}{x^2+2+2i}$
wykonany za pomocą techniki kolorowania dziedziny. Odcień oznacza argument funkcji, zaś nasycenie reprezentuje jej moduł.

Równość

Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są sobie równe. Innymi słowy, liczby zespolone postaci $a + bi\;$ oraz $c + di\;$ są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy $a = c\;$ oraz $b = d\;$.

Działania

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonuje się tak samo jak odpowiednie operacje na wyrażeniach algebraicznych, przy czym $i^2 = -1:\;$

$(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i\;$

$(a + bi)(c + di) = ac + (bc + ad)i + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i\;$.

Aby podzielić przez siebie dwie liczby zespolone, wystarczy pomnożyć dzielną i dzielnik przez liczbę sprzężoną do dzielnika (analogicznie do usuwania niewymierności z mianownika w wyrażeniach algebraicznych):

${a + bi \over c + di} = {(a + bi)(c - di) \over {(c + di)(c - di)}} = {(ac + bd) + (bc - ad)i \over c^2 + d^2}$

Płaszczyzna zespolona

Płaszczyzna zespolona

Liczbom zespolonym można przyporządkować wzajemnie jednoznacznie wektory na płaszczyźnie (zob. sekcję formalna konstrukcja), podobnie jak utożsamia się wektory na prostej z liczbami rzeczywistymi (w obu przypadkach można utożsamiać również same punkty, gdyż wspomniane wektory zaczepia się w początku układów współrzędnych).

Każdej więc liczbie zespolonej $z = a + bi\;$ można przyporządkować wektor $\vec z = (a, b)$ i odwrotnie. Działania dodawania i mnożenia w liczbach zespolonych odpowiadają następującym działaniom na wektorach:

• $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)\;$,
• $(a, b)(c, d) = (ac - bd, bc + ad)\;$.

Tak określoną płaszczyznę określa się mianem płaszczyzny zespolonej. Interpretacja ta, dla której w specjalny sposób określono mnożenie, znana była już pod koniec XVIII wieku Wesselowi, mimo to przez długi czas jej autorstwo przypisywało się Argandowi, stąd też wspomnianą płaszczyzną nazywa się również płaszczyzną Arganda. Inną spotykaną nazwą jest też płaszczyzna Gaussa.

Moduł

Zauważmy, iż długość wektora $\vec z$ jest równa z twierdzenia Pitagorasa $|\vec z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Dla liczby $z$ moduł definiujemy jako $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} \geqslant 0$. Moduł liczby zespolonej ma analogiczne własności do wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej spełniając przy tym definicję normy.

Argument

Niech $\varphi$ oznacza kąt, który wektor $\vec z$ tworzy z prostą $\operatorname{Re}$, oznaczmy go przez $\arg z$. Jest to tzw. argument. Widać, iż $\sin \varphi = \tfrac{b}{|z|}$ i $\cos \varphi = \tfrac{a}{|z|}$. Liczba zespolona różna od zera ma nieskończenie wiele argumentów, choć tylko jeden moduł.

Argument liczby $z$ spełniający nierówność $0 \leqslant \arg z < 2\pi$ (czasami też równoważnie $-\pi < \arg z \leqslant \pi$) oznacza się przez $\operatorname{Arg}\ z$ i nazywa argumentem głównym (wartością główną argumentu). W ten sposób $\operatorname{Arg}$ jest już funkcją na jeden z powyższych zbiorów nieokreśloną jedynie dla $z = 0 \iff |z| = 0$. Dla liczb rzeczywistych argument główny jest równy zeru dla liczb dodatnich oraz $\pi$ dla ujemnych.

Postać trygonometryczna

Liczba zespolona może być zatem wyrażona przez długość jej wektora (moduł) oraz jego kąt skierowany (argument):

$z = a + bi = |z|\tfrac{a}{|z|} + |z|\tfrac{b}{|z|}i = |z|(\cos \varphi + i\sin \varphi)$.

Powyższą postać liczby zespolonej nazywa się postacią trygonometryczną (z powodu użycia funkcji trygonometrycznych), biegunową (jest przedstawieniem liczby zespolonej we współrzędnych biegunowych) lub geometryczną (prowadzi do geometrycznej interpretacji liczb zespolonych na płaszczyźnie). Warto zauważyć, że postać algebraiczna odpowiada współrzędnym prostokątnym.

Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej są równe, gdy ich moduły i argumenty są równe, tj. $z = a + bi\;$ oraz $u = c + di\;$ są równe, gdy

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{c^2 + d^2} = |u|$

oraz (istotne tylko dla $|z|\ne 0\;$)

$\operatorname{Arg}\;z = \operatorname{Arg}\;u$.

Wzory pozwalające na przejście od postaci trygonometrycznej do algebraicznej są oczywiste:

$\begin{cases}a = |z|\cos \varphi \\ b = |z|\sin \varphi \end{cases}$.

Przejście odwrotne jest nieco bardziej skomplikowane:

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$,

$\varphi = \begin{cases} \operatorname{arctg}\;\tfrac{b}{a}, & \mbox{dla } a > 0 \\ \operatorname{arctg}\;\tfrac{b}{a} + \pi, & \mbox{dla } a < 0 \mbox{ oraz } b \geqslant 0 \\ \operatorname{arctg}\;\tfrac{b}{a} - \pi, & \mbox{dla } a < 0 \mbox{ oraz } b < 0 \\ +\tfrac{\pi}{2}, & \mbox{dla } a = 0 \mbox{ oraz } b > 0 \\ -\tfrac{\pi}{2}, & \mbox{dla } a = 0 \mbox{ oraz } b < 0 \\ \mathrm{niezdefiniowane}, & \mbox{dla } a = 0 \mbox{ oraz } b = 0 \end{cases}$.

Powyższy wzór posiada dużo przypadków, jednakże w wielu językach programowania istnieje wariant funkcji arcus tangens, często nazywany arctan2 lub atan2, który przetwarza je wewnętrznie. Wzór korzystający z funkcji arcus cosinus wymaga mniejszej liczby przypadków:

$\varphi = \begin{cases} +\arccos \tfrac{a}{|z|}, & \mbox{dla } b \geqslant 0 \mbox{ oraz } |z| \ne 0 \\ -\arccos \tfrac{a}{|z|}, & \mbox{dla } b < 0 \\ \mathrm{niezdefiniowane}, & \mbox{dla } |z| = 0 \end{cases}$.

Mnożenie

Warto zwrócić uwagę na mnożenie liczb w postaci trygonometrycznej, niech

$x = |x|(\cos \alpha + i\sin \alpha)\;$

$y = |y|(\cos \beta + i\sin \beta)\;$

Wówczas iloczyn

$x \cdot y = (|x| \cos \alpha \cdot |y|\cos \beta - |x|\sin \alpha \cdot |y| \sin \beta) + (i|x|\sin \alpha \cdot |y|\cos \beta + i|x|\cos \alpha |y|\sin \beta)$.

Stosując odpowiednie tożsamości trygonometryczne otrzymujemy ostatecznie

$x \cdot y = |x| \cdot |y|\left(\cos (\alpha + \beta) + i\sin (\alpha + \beta)\right)$,

co oznacza, że iloczyn dwóch liczb zespolonych posiada moduł będący iloczynem modułów mnożników oraz argument równy sumie argumentów mnożonych liczb.

Mnożenie przez $i\;$ można zinterpretować jako obrót płaszczyzny o kąt $\tfrac{\pi}{2}$.

Wzór de Moivre'a

Potęgowanie za pomocą mnożenia liczb zespolonych w postaci algebraicznej prowadzi do obliczenia wartości wyrażenia $(a + bi)^n\;$ dla danego wykładnika $n\;$ przy warunku $i^2 = -1\;$. Mimo że można korzystać z własności trójkąta Pascala, to porządkowanie tego wyrażenia może okazać się czasochłonne. Zwykle działanie to łatwiej przeprowadzić w postaci trygonometrycznej.

Rozpatrzmy $z = |z|(\cos \varphi + i\sin \varphi)\;$. Na podstawie reguły indukcji matematycznej zachodzi wzór

$z^n = |z|^n(\cos \varphi + i\sin \varphi)^n = |z|^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)\;$.

Powyższy wzór jest również pomocny przy obliczaniu $n$-tej potęgi funkcji $\sin\;$ i $\cos\;$ – należy wówczas obliczyć $z^n\;$ przy $|z| = 1\;$.

Pierwiastkowanie

Istnieje wersja wzoru de Moivre'a dla wykładników wymiernych. Każda niezerowa liczba zespolona $z$ ma dokładnie $n$ różnych pierwiastków $n$-tego stopnia, które wyrażają się wzorem

$z_k = \sqrt[n]{|z|}\left(\cos \tfrac{\varphi + 2k\pi}{n} + i\sin \tfrac{\varphi + 2k\pi}{n}\right),$

gdzie $k = 0,1, \dots, n - 1$ oraz $\varphi=\arg(z).$

Postać wykładnicza

Rozpatrzmy liczbę $z = |z|(\cos \varphi + i\sin \varphi)\;$ wyrażając funkcje $\sin$ i $\cos$ za pomocą funkcji wykładniczej (zob. wzory Eulera):

$\sin \varphi = {e^{i\varphi} - e^{-i\varphi} \over 2i}$

$\cos \varphi = {e^{i\varphi} + e^{-i\varphi} \over 2}$

Mamy $\cos \varphi + i\sin \varphi = {e^{i\varphi} + e^{-i\varphi} \over 2} + i{e^{i\varphi} - e^{-i\varphi} \over 2i} = {{e^{i\varphi} + e^{-i\varphi} + e^{i\varphi} - e^{-i\varphi}} \over 2} = e^{i\varphi}$.

Zatem ostatecznie $z = |z|(\cos \varphi + i\sin \varphi) = |z| e^{i\varphi}\;$.

Pierwiastki zespolone wyrażają się wówczas wzorem

$z_k = \sqrt[n]{|z|}\ e^{i\tfrac{\varphi + 2k\pi}{n}}$ dla $k = 0,1, \dots, n - 1\;$.

Sprzężenie

Niech $z = a + bi = |z|(\cos \varphi + i\sin \varphi) = |z|{e^{i\varphi}}\;$. Bardzo ważną operacją jest sprzężenie liczby zespolonej, jest ona najprostsza dla liczby w postaci algebraicznej:

$\overline z = a - bi\;$

Działanie to powoduje odbicie wektora liczby zespolonej względem osi $OX$ płaszczyzny zespolonej. Zatem liczba w postaci trygonometrycznej zachowa moduł, lecz jej argument ulegnie zmianie na $2\pi - \varphi\;$ lub równoważnie – zmieni on znak na przeciwny. Skoro postać wykładnicza również zależy od modułu oraz argumentu, ta sama obserwacja dotyczy i jej. Prawdą jest też, że sprzężenie liczby rzeczywistej (liczby zespolonej o zerowej części urojonej) jest równe tej liczbie.

Sprzężenie przeprowadza izomorficznie ciało liczb zespolonych na siebie, jest zatem automorfizmem. Oprócz tożsamości jest to jedyny ciągły automorfizm tego ciała, moc zbioru nieciągłych automorfizmów wynosi zaś $2^\mathfrak c\;$. Działanie sprzężenia zespolonego jest inwolucją: $\overline{(\overline z)} = z$.

Relacja porządku

Choć można sztucznie wprowadzić jakiś porządek liczb zespolonych (np. porządek leksykograficzny), to jednak taka relacja nie została określona i szerzej przyjęta. Nie da się bowiem sformułować jej w taki sposób, aby w zbiorze liczb zespolonych spełniała aksjomaty ciała uporządkowanego, jak w przypadku liczb rzeczywistych. Tak więc nie da się określić, która z dwóch liczb jest większa lub mniejsza. Można natomiast porównywać ich moduły oraz argumenty (główne), gdyż zarówno moduł jak i argument liczby zespolonej są liczbami rzeczywistymi.

Przykłady

Przedstawmy liczbę $u = ({\color{MidnightBlue}1}, {\color{OliveGreen}\sqrt{3}})$ (zob. sekcję dot. konstrukcji) w postaciach: algebraicznej, trygonometrycznej (biegunowej) i wykładniczej obliczając za każdym razem jej sprzężenie.

Postać algebraiczna:

$u = {\color{MidnightBlue}1} + i{\color{OliveGreen}\sqrt 3}$,

$\overline u = {\color{MidnightBlue}1} - i{\color{OliveGreen}\sqrt 3}$.

Obliczamy

$|u| = |{\color{MidnightBlue}1} + i{\color{OliveGreen}\sqrt 3}| = \sqrt{1 + 3} = \sqrt 4 = {\color{Fuchsia}2}$,

$\cos \arg u = \cos \arg\left({\color{MidnightBlue}1} + i{\color{OliveGreen}\sqrt 3}\right) = \tfrac{\color{MidnightBlue}1}{\color{Fuchsia}2}$,

$\sin \arg u = \sin \arg\left({\color{MidnightBlue}1} + i{\color{OliveGreen}\sqrt 3}\right) = \tfrac{\color{OliveGreen}\sqrt 3}{\color{Fuchsia}2}$,

$\arg u = \arg\left({\color{MidnightBlue}1} + i{\color{OliveGreen}\sqrt 3}\right) = {\color{RawSienna}\tfrac{\pi}{3}}$,

podobnie

$\arg \overline u = \arg\left({\color{MidnightBlue}1} - i{\color{OliveGreen}\sqrt 3}\right) = {\color{BurntOrange}\tfrac{5\pi}{3}}$.

Stąd postać trygonometryczna $u\;$ oraz $\overline u$ to

$u = {\color{Fuchsia}2}\left(\cos {\color{RawSienna}\tfrac{\pi}{3}} + i\sin {\color{RawSienna}\tfrac{\pi}{3}}\right)$,

$\overline u = {\color{Fuchsia}2}\left(\cos {\color{BurntOrange}\tfrac{5\pi}{3}} + i\sin {\color{BurntOrange}\tfrac{5\pi}{3}}\right)$,

zaś wykładnicza:

$u = {\color{Fuchsia}2}\exp {\color{RawSienna}\tfrac{\pi}{3}}i$,

$\overline u = {\color{Fuchsia}2}\exp {\color{BurntOrange}\tfrac{5\pi}{3}}i$.

Konstrukcje i własności

Konstrukcja Hamiltona

Następująca formalna definicja liczb zespolonych pochodzi od Hamiltona, matematyka irlandzkiego.

W iloczynie kartezjańskim $\mathbb R^2$ wprowadza się działania dodawania i mnożenia:

• $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)\;$,
• $(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)\;$,

gdzie $a, b, c, d \in \mathbb R$.

Tak określona struktura $(\mathbb R^2, +, \cdot)\;$ jest ciałem zwanym ciałem liczb zespolonych oznaczanym symbolem $\mathbb C$ (od ang. complex – złożony). Wówczas $i\;$ odpowiada wektorowi $(0, 1)\;$.

Ciało

Ciało to struktura algebraiczna z działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, która spełnia określone prawa algebraiczne. Liczby zespolone jako ciało w szczególności mają więc:

• element neutralny dodawania („zero”), $0 + 0i\;$,
• element neutralny mnożenia („jedynka”), $1 + 0i\;$,
• element odwrotny dodawania (element przeciwny) dla każdej liczby zespolonej, dla liczby $a + bi\;$ jest nim $-a - bi\;$,
• element odwrotny mnożenia (odwrotność) dla dowolnej niezerowej liczby zespolonej, dla liczby $a + bi\;$ jest nim $\tfrac{a}{a^2 + b^2} + \tfrac{-b}{a^2+b^2}i$.

Innymi ciałami są liczby rzeczywiste i liczby wymierne. Utożsamienie każdej liczby rzeczywistej $a\;$ z liczbą zespoloną $a + 0i\;$ sprawia, że liczby rzeczywiste $\mathbb R$ stają się podciałem $\mathbb C$.

Liczby zespolone $\mathbb C$ mogą być scharakteryzowane również jako domknięcie topologiczne liczb algebraicznych oraz jako domknięcie algebraiczne $\mathbb R$, co opisano dalej.

Reprezentacja macierzowa

Chociaż niezbyt użyteczne, alternatywne reprezentacje ciała liczb zespolonych mogą dać pewien wgląd w jego naturę. Jedna ze szczególnie eleganckich reprezentacji przedstawia każdą liczbę zespoloną jako 2×2-macierz o współczynnikach rzeczywistych, które rozciągają i obracają punkty (wektory) płaszczyzny. Każda taka macierz jest postaci

$\begin{bmatrix} a & -b \\ b & \;\; a \end{bmatrix}$,

gdzie $a, b \in \mathbb R$. Suma i iloczyn dwóch takich macierzy także ma tę postać, a działanie mnożenia macierzy tego typu jest przemienne. Każda niezerowa macierz tego typu jest odwracalna, a jej odwrotność także ma tę postać. Stąd macierze tego typu są ciałem izomorficznym z ciałem liczb zespolonych. Każda taka macierz może być zapisana jako

$\begin{bmatrix} a & -b \\ b & \;\; a \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 & \;\; 0 \\ 0 & \;\; 1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \;\; 0 \end{bmatrix}$,

co sugeruje, że liczba rzeczywista $1$ powinna być utożsamiana z macierzą identycznościową

$\begin{bmatrix} 1 & \;\; 0 \\ 0 & \;\; 1 \end{bmatrix}$,

a jednostka urojona $i$ z

$\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \;\; 0 \end{bmatrix}$,

obrotem o $90^\circ$ w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Kwadrat drugiej z macierzy rzeczywiście jest równy 2×2-macierzy reprezentującej $-1$.

Kwadrat modułu liczby zespolonej wyrażonej jako macierz jest równy wyznacznikowi tej macierzy.

$|z|^2 = \begin{vmatrix} a & -b \\ b & \;\; a \end{vmatrix} = a^2 - (-b)b = a^2 + b^2$.

Jeżeli macierz postrzegana jest jako przekształcenie płaszczyzny, to obraca ono punkty o kąt równy argumentowi liczby zespolonej i skaluje o wspólczynnik równy modułowi liczby zespolonej. Sprzężenie liczby zespolonej $z\;$ odpowiada przekształceniu, które obraca o ten sam kąt, co $z\;$, lecz w przeciwnym kierunku i skaluje w ten sam sposób, co $z\;$; może to być oddane jako transpozycja macierzy odpowiadającej $z\;$.

Jeżeli elementy macierzy same są liczbami zespolonymi, to powstała w ten sposób algebra może być utożsamiana z kwaternionami. Innymi słowy, ta reprezentacja macierzowa jest sposobem wyrażenia konstrukcji Cayleya-Dicksona algebr.

Istnieją dwa wektory własne 2×2-macierzy reprezentującej liczbę zespoloną: rzeczona liczba zespolona i jej sprzężenie.

Rzeczywista przestrzeń liniowa

Ciało $\mathbb C$ jest dwuwymiarową rzeczywistą przestrzenią liniową. W przeciwieństwie jednak do liczb rzeczywistych, liczby zespolone nie mogą być w żaden sposób uporządkowane liniowo tak, by było to zgodne z działaniami arytmetycznymi w nich określonymi: $\mathbb C$ nie może być przekształcone w ciało uporządkowane. Ogólniej: żadne ciało zawierające pierwiastek z $-1\;$ nie może być uporządkowane.

W ogólności $\mathbb R$-liniowe przekształcenia $\mathbb C \to \mathbb C$ są postaci

$f(z) = az + b\overline z,$

gdzie $a, b\;$ są współczynnikami zespolonymi. Tylko pierwszy wyraz jest $\mathbb C$-liniowy i tylko on jest holomorficzny, drugi jest różniczkowalny w sensie rzeczywistym, lecz nie spełnia równań Cauchy'ego-Riemanna.

Funkcja

$f(z) = az,$

odpowiada obrotom złożonym ze skalowaniem (która nie zmienia orientacji), zaś funkcja

$f(z) = b \overline z$

odpowiada symetriom złożonym ze skalowaniem (zmienia orientację).

Rozwiązania równań wielomianowych

Pierwiastek wielomianu $p\;$ to liczba zespolona $z\;$ spełniająca $p(z) = 0\;$. Zaskakującym wynikiem analizy zespolonej jest to, iż wszystkie wielomiany stopnia $n\;$ o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych mają dokładnie $n\;$ pierwiastków zespolonych (licząc pierwiastki wielokrotnie zgodnie z ich wielokrotnością). Wynik ten znany jest jako podstawowe twierdzenie algebry i pokazuje, że liczby zespolone są ciałem algebraicznie domkniętym. Rzeczywiście, są one domknięciem algebraicznym liczb rzeczywistych, jak opisano niżej.

Konstrukcja algebraiczna

Jedna z możliwych konstrukcji ciała liczb zespolonych polega na rozszerzeniu ciała liczb rzeczywistych $\mathbb R$ o pierwiastek wielomianu $x^2 + 1$. Aby skonstruować to rozszerzenie, należy wziąć pierścień $\mathbb R[x]$ wielomianów o współczynnikach. Wielomian $x^2 + 1$ jest nierozkładalny nad $\mathbb R$, skąd ideał przez niego generowany $(x^2+1)$ jest maksymalny, a więc pierścień ilorazowy $\mathbb R[x]/(x^2 + 1)$ jest ciałem. Rozszerzenie to zawiera dwa pierwiastki kwadratowe z –1; wybiera się jeden z nich i oznacza symbolem $i\;$. Zbiór $\{1, i\}\;$ stanowi bazę tego rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych. Dokładniej: każdy element tego rozszerzenia można zapisać w postaci

$a\cdot 1 + bi\;$

dla pewnych a,b rzeczywistych.

Algebraiczna domkniętość

Chociaż dodano wyłącznie pierwiastki $x^2 + 1\;$, to otrzymane ciało ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte – każdy wielomian o współczynnikach w $\mathbb C$ można rozłożyć na wielomiany liniowe o współczynnikach z $\mathbb C$. Ponieważ każde ciało ma tylko jedno, co do izomorfizmu, domknięcie algebraiczne, liczby zespolone mogą być scharakteryzowane jako domknięcie algebraiczne liczb rzeczywistych.

Charakteryzacja algebraiczna

Opisywane rozszerzenie odpowiada dobrze znanej płaszczyźnie zespolonej, lecz fakt ten charakteryzuje je wyłącznie algebraicznie. Ciało $\mathbb C$ jest scharakteryzowane z dokładnością do izomorfizmu ciał przez następujące trzy własności:

• jego charakterystyka wynosi $0$,
• jego stopień przestępności nad ciałem prostym jest mocy continuum,
• jest algebraicznie domknięte.

Jedną z konsekwencji tej charakteryzacji jest to, że $\mathbb C$ zawiera wiele podciał właściwych izomorficznych z $\mathbb C$ (to samo jest prawdą dla $\mathbb R$, które zawiera wiele podciał izomorficznych do siebie). Jak opisano poniżej, aby odróżnić te podciała od samych ciał $\mathbb C$ i $\mathbb R$ wymagane są rozważania topologiczne.

Charakteryzacja topologiczna

Jak zauważono wyżej, algebraiczna charakteryzacja $\mathbb C$ nie dostarcza pewnych z jego najważniejszych własności topologicznych. Własności te są kluczowe podczas studiowania analizy zespolonej, gdzie liczby zespolone badane są jako ciało topologiczne.

Następujące własności charakteryzują $\mathbb C$ jako ciało topologiczne:^{[potrzebne źródło]}

• $\mathbb C$ jest ciałem,
• $\mathbb C$ zawiera podzbiór $P\;$ niezerowych elementów spełniających:
  • $P\;$ jest zamknięte ze względu na dodawanie, mnożenie i branie elementów odwrotnych,
  • jeżeli $x\;$ i $y\;$ są różnymi elementami $P\;$, to tak $x - y\;$, jak i $y - x\;$ należą do $P\;$,
  • jeżeli $S\;$ jest niepustym podzbiorem $P\;$, to $S + P = x + P\;$ dla pewnego $x \in \mathbb C\;$,
• $\mathbb C\;$ ma nietrywialny, będący inwolucją automorfizm $x \mapsto x^*$, który dla ustalonego $P\;$ spełnia własność, że $xx^*\;$ należy do $P\;$ dla dowolnego niezerowego $x \in \mathbb C$.

Dla danego ciała o tych własnościach można zdefiniować topologię biorąc zbiory

• $B(x, p) = \{y\colon p - (y-x)(y-x)^* \in P\}\;$

jako bazę, gdzie $x$ przebiega to ciało, a $p\;$ przebiega $P\;$.

Aby przekonać się, że te własności charakteryzują $\mathbb C$ jako ciało topologiczne, należy zauważyć, że $P \cup \{0\} \cup -P$ to ciało uporządkowane zupełnie w sensie Dedekinda, które może być w związku z tym utożsamiane z liczbami rzeczywistymi $\mathbb R$ poprzez jednoznacznie wyznaczony izomorfizm ciał. Z ostatniej własności łatwo wynika, że grupa Galois nad liczbami rzeczywistymi ma rząd równy dwa, co uzupełnia charakteryzację.

Lew Pontriagin pokazał, że jedynymi spójnymi lokalnie zwartymi ciałami topologicznymi są $\mathbb R$ oraz $\mathbb C$. Fakt ten umożliwia jeszcze jedną charakteryzację $\mathbb C$ jako ciała topologicznego, ponieważ $\mathbb C$ może być odróżnione od $\mathbb R$ poprzez uwagę, iż niezerowe liczby zespolone są spójne w przeciwieństwie do niezerowych liczb rzeczywistych.

Historia

Liczby zespolone zostały wprowadzone do matematyki przez Girolama Cardana. Nadał on w szczególności liczbie $i$ nazwę jednostki urojonej, nie wierząc w rzeczywiste istnienie takiego obiektu, a jedynie uznając go za pomocniczy element w rachunku, mającym w zamierzeniu dać pierwiastki równania wielomianowego trzeciego stopnia (tzw. wzory Cardano).

Liczbami zespolonymi zajmowali się wielcy matematycy tacy jak Hamilton, czy Euler (zob. wzór Eulera). Jest to ciekawy przykład pojęcia o fundamentalnym znaczeniu dla techniki (m.in. elektrotechniki), które znalazło swoje główne zastosowanie po kilkuset latach od odkrycia. Formalne określenie zbioru liczb zespolonych jako zbioru $\mathbb R^2$, z odpowiednio zdefiniowanymi działaniami dodawania i mnożenia, pochodzi od Hamiltona.

Zastosowania

Liczby zespolone są dość wygodnym sposobem zapisu punktów płaszczyzny. Analizą euklidesowej przestrzeni dwuwymiarowej zajmuje się w ogólności tzw. analiza wielowymiarowa, zaś analizą przestrzeni zespolonej analiza zespolona.

Liczby zespolone znajdują zastosowanie m.in. w:

• wyznaczaniu pierwiastków równań kwadratowych, których wyróżnik jest mniejszy od zera,
• teorii fraktali,
• analizie obwodów elektrycznych prądu przemiennego,
• rozwiązywaniu wielu klas równań różniczkowych,
• znajdywaniu wartości całek oznaczonych funkcji rzeczywistych przy pomocy metody residuów,
• analizie grafów przez wartości własne macierzy sąsiedztwa,
• analizie przebiegów zmiennych i periodycznych, oraz rozwiązywaniu wielu problemów różniczkowych oraz całkowych, przy użyciu transformacji Fouriera,
• mechanice kwantowej i jej rozszerzeniach.

Liczby zespolone można rozumieć m.in. jako szczególny przypadek kwaternionów, oktaw Cayleya, sedenionów.

Zobacz też

• liczby całkowite Eisensteina
• liczby całkowite Gaussa,
• liczby dualne,
• liczby podwójne,
• wzór Eulera,
• sfera Riemanna (rozszerzona płaszczyzna zespolona),
• kwaterniony,
• liczby hiperzespolone,
• ciało lokalne.

Linki zewnętrzne

• Zbiór ćwiczeń z rozwiązaniami + teoria
• Obliczenia na liczbach zespolonych (niem.)