Logarytm całkowy

Wykres funkcji li(x) w zakresie [1,01; 25]

Logarytm całkowy — funkcja określona wzorem:

$\mathrm{li}\,x = \int\limits_{0}^{x}\frac{\mathrm{d}t}{\ln |t|} = \ln{|\ln{|x|}|} + \sum_{k=1}^{\infty}{({\ln{|x|})^k}\over{{k}\cdot{k!}}}$

Całka określająca funkcję jest całką przestępną — nie daje się wyrazić w postaci złożenia skończenie wielu funkcji elementarnych.

Gdy $\,{x>1}$ , całka w punkcie $\,{t=1}$ jest rozbieżna. W tym przypadku przez $\mathrm{li}\,x$ należy rozumieć wartość główną całki niewłaściwej.

W teorii liczb częściej używa się funkcji $\mathrm{Li}\,(x)$ zdefiniowanej następująco:

$\mathrm{Li}(x) = \int\limits_{2}^{x}\frac{\mathrm{d}t}{\ln |t|}$

i nazywanej resztą logarytmu całkowego.

Logarytm całkowy jest związany z funkcją całkowo-wykładniczą zależnością:

$\mathrm{li}\,x = \mathrm{ei}(\ln{|x|})$

Zobacz też [edytuj]