Logarytm całkowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Wykres funkcji li(x) w zakresie [1,01; 25]

Logarytm całkowyfunkcja określona wzorem:

\mathrm{li}\,x = \int\limits_{0}^{x}\frac{\mathrm{d}t}{\ln |t|} = \ln{|\ln{|x|}|} + \sum_{k=1}^{\infty}{({\ln{|x|})^k}\over{{k}\cdot{k!}}}

Całka określająca funkcję jest całką przestępną — nie daje się wyrazić w postaci złożenia skończenie wielu funkcji elementarnych.

Gdy \,{x>1}, całka w punkcie \,{t=1} jest rozbieżna. W tym przypadku przez \mathrm{li}\,x należy rozumieć wartość główną całki niewłaściwej.

W teorii liczb częściej używa się funkcji \mathrm{Li}\,(x) zdefiniowanej następująco:

\mathrm{Li}(x) = \int\limits_{2}^{x}\frac{\mathrm{d}t}{\ln |t|}

i nazywanej resztą logarytmu całkowego.

Logarytm całkowy jest związany z funkcją całkowo-wykładniczą zależnością:

\mathrm{li}\,x = \mathrm{ei}(\ln{|x|})

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]